Se
, mostre que há pelo menos um valor de
para o qual:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos a função
e precisamos mostrar que existe pelo menos um valor de
para o qual algo acontece com essa função. Provavelmente, queremos mostrar que existe um
tal que
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que ajuda a provar a existência de tais valores quando a função é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essa função se comporta. Sabemos que
é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Isso é importante porque o Teorema do Valor Intermediário só funciona com funções contínuas.
Passo 3
Vamos calcular os valores de
em dois pontos diferentes para ver se a função muda de sinal entre eles. Se mudar, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
entre esses dois pontos onde
.
Vamos tentar
e
:
-
Para
: -
Para
:
Ambos são positivos, então n��o vimos uma mudança de sinal aqui. Vamos tentar valores menores.
Vamos agora para
e
:
-
Para
: -
Para
:
Olha só,
(negativo) e
(positivo). A função mudou de sinal de negativo para positivo nesse intervalo!
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, então ela deve cruzar o eixo x em algum lugar entre esses pontos. Ou seja, existe pelo menos um
entre
e
onde
.
Resposta
Existe pelo menos um valor de
no intervalo
tal que
.