Se f(x) = x^3 - 8x + 10, mostre que há pelo menos um valor de c para o qual:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos a função e precisamos mostrar que existe pelo menos um valor de para o qual algo acontece com essa função. Provavelmente, queremos mostrar que existe um tal que . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que ajuda a provar a existência de tais valores quando a função é contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essa função se comporta. Sabemos que é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Isso é importante porque o Teorema do Valor Intermediário só funciona com funções contínuas.

Passo 3

Vamos calcular os valores de em dois pontos diferentes para ver se a função muda de sinal entre eles. Se mudar, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um entre esses dois pontos onde .
Vamos tentar e :
  • Para :
  • Para :
Ambos são positivos, então n��o vimos uma mudança de sinal aqui. Vamos tentar valores menores.
Vamos agora para e :
  • Para :
  • Para :
Olha só, (negativo) e (positivo). A função mudou de sinal de negativo para positivo nesse intervalo!

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, então ela deve cruzar o eixo x em algum lugar entre esses pontos. Ou seja, existe pelo menos um entre e onde .

Resposta

Existe pelo menos um valor de no intervalo tal que .

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