Se g for derivável, a Regra do Recíproco diz que
\frac{d}{d x}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=-\frac{g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}
Use a Regra do Quociente para demonstrar a Regra do Recíproco.
Se g for derivável, a Regra do Recíproco diz que
\frac{d}{d x}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=-\frac{g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}

Passo 1

O enunciado dá que g é diferenciável (ou seja, g' existe onde for considerado) e pede para demonstrar a fórmula da derivada do recíproco de g. Mais precisamente, a tarefa é mostrar que
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=-\frac{g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • g é diferenciável, então g'(x) existe.
  • Para que \frac{1}{g(x)} faça sentido e seja diferenciável naquele ponto, é necessário que g(x)\neq0.
    A partir disso, vamos usar a Regra do Quociente para obter a expressão pedida.

Passo 2

Lembrando a Regra do Quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando cada termo:
  • u(x) é o numerador da fração que estamos derivando;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    Essa fórmula vem da combinação da Regra do Produto com a Regra da Cadeia aplicada a u(x)\cdot [v(x)]^{-1}, mas aqui vamos aplicá-la diretamente.

Passo 3

Escolhemos para aplicar a Regra do Quociente as funções
u(x)=1\quad\text{e}\quad v(x)=g(x).
Agora calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=0\quad\text{(porque \(u\) é constante)}\qquad\text{e}\qquad v'(x)=g'(x).é

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente com esses u e v, obtemos
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Simplificando o numerador dá
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] =\frac{-g'(x)}{[g(x)]^{2}}.

Passo 5

Condições e observações finais:
  • A demonstração exige que g seja diferenciável (para existir g'(x)) e que g(x)\neq0 (para o denominador [g(x)]^{2} ser não nulo).
  • Dica prática para prova: sempre que tiver \frac{1}{g(x)} você pode aplicar a Regra do Quociente com numerador 1 (o que simplifica muito) ou usar a Regra da Cadeia escrevendo \frac{1}{g(x)}=[g(x)]^{-1} e aplicando \frac{d}{dx}[g(x)^{-1}]=-1\cdot g(x)^{-2}\cdot g'(x).
  • Exemplo concreto para fixar: se g(x)=x^{2}+1, então g'(x)=2x e
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{2}+1}\right]=-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=-\frac{g'(x)}{[g(x)]^{2}}

Exercícios relacionados