Se
for derivável, a Regra do Recíproco diz que
Use a Regra do Quociente para demonstrar a Regra do Recíproco.
Se
for derivável, a Regra do Recíproco diz que
Se
Passo 1
O enunciado dá que
é diferenciável (ou seja,
existe onde for considerado) e pede para demonstrar a fórmula da derivada do recíproco de
. Mais precisamente, a tarefa é mostrar que
Informações relevantes fornecidas:
-
é diferenciável, então existe. - Para que
faça sentido e seja diferenciável naquele ponto, é necessário que .
A partir disso, vamos usar a Regra do Quociente para obter a expressão pedida.
Passo 2
Lembrando a Regra do Quociente: se
e
são diferenciáveis e
, então
Explicando cada termo:
-
é o numerador da fração que estamos derivando; -
é o denominador; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
Essa fórmula vem da combinação da Regra do Produto com a Regra da Cadeia aplicada a, mas aqui vamos aplicá-la diretamente.
Passo 3
Escolhemos para aplicar a Regra do Quociente as funções
Agora calculamos as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a Regra do Quociente com esses
e
, obtemos
Simplificando o numerador dá
Passo 5
Condições e observações finais:
- A demonstração exige que
seja diferenciável (para existir ) e que (para o denominador ser não nulo). - Dica prática para prova: sempre que tiver
você pode aplicar a Regra do Quociente com numerador (o que simplifica muito) ou usar a Regra da Cadeia escrevendo e aplicando . - Exemplo concreto para fixar: se
, então e