Se f(x)=x^2-1 e f(g(x))=log |x|, quem é a função g(x) ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos
f(x)=x^2-1
e que a composição
fl(g(x)r)=log|x|,
A matéria aqui é composição de funções e “inversão” de uma função quadrática. Para resolver, a gente vai usar o fato de que aplicar f em algo é elevar ao quadrado e subtrair 1 – então vamos inverter esse processo para achar g(x).

Passo 2

Escrevendo a definição de f dentro da composição, dá:
fl(g(x)r)=(g(x))^2-1,
Como f(g(x)) já foi dado como log|x|, a gente iguala:
(g(x))^2-1=log|x|,

Passo 3

O próximo passo é isolar (g(x))^2. Para isso, soma 1 em ambos os lados:
(g(x))^2-1+1=log|x|+1 Longrightarrow (g(x))^2=log|x|+1,
Aqui usamos a propriedade básica de igualdade: se A-1=B, então A=B+1.

Passo 4

Agora precisamos tirar a raiz quadrada para desfazer o quadrado. Lembre que a raiz de y^2 é pm y. Então:
g(x)=pmraizlog|x|+1,
Mas atenção: pra raiz ficar real, o que está dentro dela tem de ser ≥0, ou seja
log|x|+1>=0Longrightarrow log|x|>=-1Longrightarrow |x|>= e^-1,

Resposta

boxedg(x)=pmraizlog|x|+1,, |x|>= e^-1

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