f(x)=\sqrt{\exp (2 x)+1} \rightarrow Calcular f^{\prime}(0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sqrt{\exp(2x)+1}
e pede a derivada de f avaliada em x=0, ou seja, f'(0). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, escrevemos
f(x)=\sqrt{u(x)} \quad\text{com}\quad u(x)=\exp(2x)+1.

Passo 3

A derivada de f em função de u é
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\;u'(x).
Agora calculamos u'(x):
u'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(\exp(2x)+1\bigr) =2\,\exp(2x).
Logo
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{\exp(2x)+1}}\;2\,\exp(2x) =\frac{\exp(2x)}{\sqrt{\exp(2x)+1}}.

Passo 4

Basta agora avaliar em x=0:
\exp(2\cdot0)=1 \quad\text{e}\quad \sqrt{\exp(2\cdot0)+1}=\sqrt{2},
portanto
f'(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

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