Se f(x)=\frac{3 x-1}{x-7}, achar:
\frac{5 f(-1)-2 f(0)+3 f(5)}{7}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional \,f(x)=\dfrac{3x-1}{x-7}\, e pede para calcular o valor da expressão
\frac{5f(-1)-2f(0)+3f(5)}{7}.
Informações relevantes que temos:
  • A fórmula de f(x) para qualquer x (desde que x\neq7) é \,f(x)=\dfrac{3x-1}{x-7}.
  • Precisamos avaliar f em três pontos: x=-1, x=0 e x=5, depois formar a combinação linear 5f(-1)-2f(0)+3f(5) e dividir o resultado por 7.

Passo 2

Primeiro vamos aprender (rápido e prático) como avaliar uma função racional numa aboutra: basta substituir o x pelo número pedido em \,f(x)=\dfrac{3x-1}{x-7}\, e simplificar a fração. Vou fazer isso passo a passo para x=-1.
Substituindo x=-1:
f(-1)=\frac{3(-1)-1}{-1-7}=\frac{-3-1}{-8}=\frac{-4}{-8}.
Simplificando \dfrac{-4}{-8} (dividindo numerador e denominador por 4):
f(-1)=\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora avalio f(0). Substituindo x=0:
f(0)=\frac{3\cdot0-1}{0-7}=\frac{-1}{-7}.
Simplificando o sinal:
f(0)=\frac{1}{7}.

Passo 4

Agora avalio f(5). Substituindo x=5:
f(5)=\frac{3\cdot5-1}{5-7}=\frac{15-1}{-2}=\frac{14}{-2}.
Simplificando \dfrac{14}{-2}:
f(5)=-7.

Passo 5

Temos agora os três valores:
f(-1)=\frac{1}{2},\qquad f(0)=\frac{1}{7},\qquad f(5)=-7.
Formo a combinação no numerador:
\text{Numerador} = 5f(-1)-2f(0)+3f(5)=5\cdot\frac{1}{2}-2\cdot\frac{1}{7}+3\cdot(-7).
Calcule cada termo:
5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2},\qquad -2\cdot\frac{1}{7}=-\frac{2}{7},\qquad 3\cdot(-7)=-21.
Logo
\text{Numerador}=\frac{5}{2}-\frac{2}{7}-21.

Passo 6

Para somar as frações é conveniente escolher um denominador comum. Um denominador comum para 2, 7 e a parte inteira 21 (que é \dfrac{21}{1}) é 14. Escrevendo tudo com denominador 14:
\frac{5}{2}=\frac{35}{14},\qquad -\frac{2}{7}=-\frac{4}{14},\qquad -21=-\frac{294}{14}.
Somando:
\text{Numerador}=\frac{35}{14}-\frac{4}{14}-\frac{294}{14}=\frac{35-4-294}{14}=\frac{-263}{14}.

Passo 7

Agora dividimos o numerador por 7, conforme a expressão pedida:
\frac{5f(-1)-2f(0)+3f(5)}{7}=\frac{\dfrac{-263}{14}}{7}.
Lembrando que dividir por 7 é multiplicar pelo recíproco \dfrac{1}{7}:
\frac{\dfrac{-263}{14}}{7}=\frac{-263}{14}\cdot\frac{1}{7}=\frac{-263}{98}.
Verificamos se a fração pode ser simplificada: 263 e 98 não têm fatores comuns (263 é primo), então já está na forma irredutível.

Resposta

-\dfrac{263}{98}

Exercícios relacionados