Se f(x)=\frac{1}{2-x^{2}}, dê uma aproximação para f(1,02) usando a diferencial de f no ponto x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \frac{1}{2 - x^{2}}
e pede uma aproximação de f(1,02) usando a diferencial em torno de x=1. O método que vamos usar é a linearização (ou aproximação linear), que diz que para x perto de a,
f(x) \approx f(a) + f'(a)\,(x - a).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Escrevendo f(x) = (2 - x^{2})^{-1} e aplicando a regra da cadeia,
f'(x) = -1 \cdot (2 - x^{2})^{-2} \cdot (-2x) = \frac{2x}{(2 - x^{2})^{2}}.

Passo 3

Avaliamo s f e f' no ponto a = 1:
f(1) = \frac{1}{2 - 1^{2}} = \frac{1}{1} = 1,
f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{(2 - 1^{2})^{2}} = \frac{2}{1^{2}} = 2.

Passo 4

Definimos \Delta x = 1,02 - 1 = 0,02. Pela aproximação linear,
\Delta f \approx f'(1)\,\Delta x = 2 \cdot 0,02 = 0,04.
Portanto,
f(1,02) \approx f(1) + \Delta f = 1 + 0,04 = 1,04.

Resposta

Aproximação: f(1,02)\approx 1,04.

Exercícios relacionados