Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido é estudo de funções racionais, incluindo domínio, assíntotas, monotonia, concavidade e pontos de inflexão. Vamos determinar essas características para depois desenhar o esboço.
Passo 2
Domínio e assíntota vertical. A função não está definida em
, pois haveria divisão por zero. Logo o domínio é
e existe assíntota vertical em
.
Passo 3
Comportamento em
. Como
o termo
tende a zero quando
. Portanto para grandes
,
. Não há assíntota horizontal nem oblíqua de grau 1 (a “reta” de maior aproximação é o próprio polinômio
, mas oblíqua só se define para reta de grau 1).
Passo 4
Comportamento em
.
Para ,
e
, logo
.
Para ,
e
, logo
.
Isto confirma a assíntota vertical em com sinais opostos nos dois lados.
Para
Para
Isto confirma a assíntota vertical em
Passo 5
Monotonia. Calculamos a derivada:
Como
e
para
, temos
em todo o domínio. Logo
é estritamente crescente em
e em
, sem extremos locais.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão. A segunda derivada é
A condição
dá
, isto é
.
Para testar a concavidade:
Para testar a concavidade:
- Se
, então e , logo (concavidade para cima). - Se
, então e , logo (concavidade para baixo). - Se
, então e , logo (concavidade para cima). - Se
, então e , logo (concavidade para baixo).
Assim há pontos de inflexão em
e
.
Passo 7
Coordenadas dos pontos de inflexão.
Para :
Para
logo
.
Para :
Para
logo
.
Passo 8
Esboço final.
- Assíntota vertical:
(abaixo de a curva vai a ao se aproximar de pela esquerda, e a pela direita). - Para
: segue o comportamento de . - Função estritamente crescente em cada ramo
e . - Concavidade: para
é para baixo, muda em , para cima até ; para é para baixo, muda em , e para é para cima.
Isso gera um gráfico com dois ramos:
No ramo
, a curva cresce de
(quando
), é côncava para baixo até
, depois côncava para cima subindo a
em
.
No ramo
, a curva sai de
em
, é côncava para baixo até
, depois côncava para cima subindo a
em
.
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta:
- Assíntota vertical em
. - Comportamento assintótico semelhante a
para grande. - Crescimento estrito em
e sem máximos ou mínimos. - Pontos de inflexão em
e . - Concavidade para baixo em
e , e para cima em e .
A curva tem dois ramos separados pela reta vertical
, como descrito no passo anterior.