Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
\ell(x)=\frac{x^{4}-3}{x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
\ell(x)=\frac{x^{4}-3}{x}=x^{3}-\frac{3}{x}.
O conteúdo envolvido é estudo de funções racionais, incluindo domínio, assíntotas, monotonia, concavidade e pontos de inflexão. Vamos determinar essas características para depois desenhar o esboço.

Passo 2

Domínio e assíntota vertical. A função não está definida em x=0, pois haveria divisão por zero. Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}
e existe assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Comportamento em x\to\pm\infty. Como
\ell(x)=x^{3}-\tfrac{3}{x},
o termo -3/x tende a zero quando \lvert x\rvert\to\infty. Portanto para grandes \lvert x\rvert, \ell(x)\approx x^{3}. Não há assíntota horizontal nem oblíqua de grau 1 (a “reta” de maior aproximação é o próprio polinômio y=x^{3}, mas oblíqua só se define para reta de grau 1).

Passo 4

Comportamento em x\to0^\pm.
Para x\to0^+, x^{3}\to0^+ e -3/x\to -\infty, logo \ell(x)\to -\infty.
Para x\to0^-, x^{3}\to0^- e -3/x\to +\infty, logo \ell(x)\to +\infty.
Isto confirma a assíntota vertical em x=0 com sinais opostos nos dois lados.

Passo 5

Monotonia. Calculamos a derivada:
\ell'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{3}-\tfrac{3}{x}\Bigr) =3x^{2}+\frac{3}{x^{2}} =\frac{3(x^{4}+1)}{x^{2}}.
Como x^{4}+1>0 e x^{2}>0 para x\neq0, temos \ell'(x)>0 em todo o domínio. Logo \ell é estritamente crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty), sem extremos locais.

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão. A segunda derivada é
\ell''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(3x^{2}+3x^{-2}\Bigr) =6x-6x^{-3} =\frac{6(x^{4}-1)}{x^{3}}.
A condição \ell''(x)=0 x^{4}-1=0, isto é x=\pm1.
Para testar a concavidade:
  • Se x>1, então x^{4}-1>0 e x^{3}>0, logo \ell''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se 0<x<1, então x^{4}-1<0 e x^{3}>0, logo \ell''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Se -1<x<0, então x^{4}-1<0 e x^{3}<0, logo \ell''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se x<-1, então x^{4}-1>0 e x^{3}<0, logo \ell''(x)<0 (concavidade para baixo).
Assim há pontos de inflexão em x=-1 e x=1.

Passo 7

Coordenadas dos pontos de inflexão.
Para x=1:
\ell(1)=1^{3}-\tfrac{3}{1}=1-3=-2,
logo (1,-2).
Para x=-1:
\ell(-1)=(-1)^{3}-\tfrac{3}{-1}=-1+3=2,
logo (-1,2).

Passo 8

Esboço final.
  • Assíntota vertical: x=0 (abaixo de 0 a curva vai a +\infty ao se aproximar de 0 pela esquerda, e a -\infty pela direita).
  • Para x\to\pm\infty: segue o comportamento de y=x^{3}.
  • Função estritamente crescente em cada ramo (-\infty,0) e (0,\infty).
  • Concavidade: para x<-1 é para baixo, muda em (-1,2), para cima até 0; para 0<x<1 é para baixo, muda em (1,-2), e para x>1 é para cima.
Isso gera um gráfico com dois ramos:
No ramo x<0, a curva cresce de -\infty (quando x\to-\infty), é côncava para baixo até (-1,2), depois côncava para cima subindo a +\infty em x\to0^-.
No ramo x>0, a curva sai de -\infty em x\to0^+, é côncava para baixo até (1,-2), depois côncava para cima subindo a +\infty em x\to+\infty.

Resposta

O esboço do gráfico de \ell(x)=(x^{4}-3)/x apresenta:
  1. Assíntota vertical em x=0.
  2. Comportamento assintótico semelhante a y=x^{3} para \lvert x\rvert grande.
  3. Crescimento estrito em (-\infty,0) e (0,\infty) sem máximos ou mínimos.
  4. Pontos de inflexão em (-1,2) e (1,-2).
  5. Concavidade para baixo em (-\infty,-1) e (0,1), e para cima em (-1,0) e (1,\infty).
A curva tem dois ramos separados pela reta vertical x=0, como descrito no passo anterior.

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