Um homem pode caminhar duas vezes mais rápido do que nadando. Para ir de um ponto da borda de uma piscina circular a outro diametralmente oposto, ele pode caminhar ao longo da borda da piscina e nadar através dela. Determine a trajetória que o leva a seu destino no tempo mínimo.

Passo 1

O problema envolve uma piscina circular de raio R. O homem sai de um ponto S da borda e quer chegar ao ponto diametralmente oposto D. Ele anda na borda com velocidade v e nada na água com velocidade v/2. Vamos escolher como parâmetro o ângulo \theta que ele percorre caminhando, medido ao longo da circunferência de S até o ponto de entrada A na água.

Passo 2

A distância que ele caminha ao longo da borda é o arco de comprimento
\text{arco} = R\,\theta.
Depois, ele nada em linha reta de A até D, que são pontos separados por um ângulo \pi - \theta na circunferência. O comprimento desse cordão (chord) é
\text{corda} = 2R\sin\bigl((\pi-\theta)/2\bigr) =2R\cos\bigl(\theta/2\bigr).

Passo 3

O tempo total T(\theta) é a soma do tempo de caminhada e do tempo de natação:
T(\theta) =\frac{R\,\theta}{v} +\frac{2R\cos(\theta/2)}{v/2} =\frac{R}{v}\,\theta +\frac{4R}{v}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr).

Passo 4

Para minimizar T(\theta), calculamos
\frac{dT}{d\theta} =\frac{R}{v}\Bigl(1-2\sin(\tfrac{\theta}{2})\Bigr)
e igualamos a zero:
1-2\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr)=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\theta}{2}=\tfrac{\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\tfrac{\pi}{3}.
O segundo derivado é positivo em \theta=\pi/3, confirmando mínimo.

Passo 5

Portanto, a trajetória ótima é caminhar ao longo da borda um ângulo
\theta=\pi/3 (isto é, 60^\circ) e então entrar na água e nadar em linha reta pelo cordão de comprimento
2R\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr)=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3.

Resposta

Ele deve caminhar ao longo da borda um arco de ângulo \pi/3 e depois nadar diretamente pelo cordão de comprimento R\sqrt3.

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