Um homem pode caminhar duas vezes mais rápido do que nadando. Para ir de um ponto da borda de uma piscina circular a outro diametralmente oposto, ele pode caminhar ao longo da borda da piscina e nadar através dela. Determine a trajetória que o leva a seu destino no tempo mínimo.
Passo 1
O problema envolve uma piscina circular de raio
. O homem sai de um ponto
da borda e quer chegar ao ponto diametralmente oposto
. Ele anda na borda com velocidade
e nada na água com velocidade
. Vamos escolher como parâmetro o ângulo
que ele percorre caminhando, medido ao longo da circunferência de
até o ponto de entrada
na água.
Passo 2
A distância que ele caminha ao longo da borda é o arco de comprimento
Depois, ele nada em linha reta de
até
, que são pontos separados por um ângulo
na circunferência. O comprimento desse cordão (chord) é
Passo 3
O tempo total
é a soma do tempo de caminhada e do tempo de natação:
Passo 4
Para minimizar
, calculamos
e igualamos a zero:
O segundo derivado é positivo em
, confirmando mínimo.
Passo 5
Portanto, a trajetória ótima é caminhar ao longo da borda um ângulo
(isto é,
) e então entrar na água e nadar em linha reta pelo cordão de comprimento
Resposta
Ele deve caminhar ao longo da borda um arco de ângulo
e depois nadar diretamente pelo cordão de comprimento
.