O raio de uma superfície plana circular é 8 m, sujeito a uma dilatação de 0,06 m. Estime o aumento da área da superfície com a dilatação.

Passo 1

O enunciado nos dá um círculo de raio \,r=8\\ \mathrm{m} que sofre uma pequena dilatação \mathrm{d}r=0,06\\ \mathrm{m}. Queremos estimar o aumento da área usando o conceito de diferencial, ou seja, aproximar \mathrm{d}A a partir da derivada da área em função de r.

Passo 2

A área de um círculo de raio r é
A(r)=\pi r^{2}.
A derivada de A em relação a r é
A'(r)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(\pi r^{2}\bigr)=2\pi r.
Para uma pequena variação \mathrm{d}r, a variação aproximada da área é
\mathrm{d}A \approx A'(r)\,\mathrm{d}r = 2\pi r\,\mathrm{d}r.

Passo 3

Substituindo r=8 e \mathrm{d}r=0,06 na fórmula de \mathrm{d}A, obtemos
\mathrm{d}A = 2\pi \cdot 8 \cdot 0,06 = 0,96\,\pi.

Passo 4

Em valor numérico,
0,96\,\pi \approx 3,02.

Resposta

O aumento estimado da área é \,0,96\pi\approx3,02\;\mathrm{m}^2.

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