Use diferencial para aproximar o crescimento da área da superfície esférica de um balão se seu diâmetro varia de 2 m para 2.02 m [ Área da superfície de uma esfera de raio r: S=4 \pi r^{2} ].

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o crescimento da área da superfície de uma esfera quando seu diâmetro passa de 2 m para 2,02 m. O conteúdo é o uso de diferenciais em funções de uma variável. Vamos usar a fórmula
S(r) = 4\pi r^2
e aproximar \Delta S por dS.

Passo 2

Calculamos a derivada de S em relação a r:
\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr}\bigl(4\pi r^2\bigr) = 8\pi r.

Passo 3

Como o diâmetro varia de 2 m para 2,02 m, a variação do raio é
dr = \frac{\Delta(\text{diâmetro})}{2} = \frac{2{,}02 - 2}{2} = 0{,}01\text{ m}.â
O raio inicial é r=1 m.

Passo 4

Aproximamos a variação da área por
dS \approx \frac{dS}{dr}\biggr|_{r=1}\,dr = \bigl(8\pi\cdot1\bigr)\cdot0{,}01 = 0{,}08\pi\text{ m}^2.

Resposta

A área da superfície cresce aproximadamente 0{,}08\pi m^{2} (cerca de 0{,}2513 m^{2}).

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