Ou seja: queremos o valor que f(x) se aproxima quando x tende a 0 vindo pela esquerda (valores de x menores que 0).]
Passo 2
Explicar claramente o que significa limite à esquerda. A afirmação
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=L
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0-\delta<x<0 (isto é, x está perto de 0 pela esquerda), vale
|f(x)-L|<\varepsilon.
Em palavras: aproximando-se de 0 por valores menores que 0, os valores de f(x) ficam tão próximos de L quanto se queira.
Passo 3
Olhar a definição da função no intervalo à esquerda de 0. O enunciado diz explicitamente que, para todo x<0,
f(x)=-2.
Isso quer dizer que para qualquer ponto à esquerda de 0 (por mais próximo de 0 que seja), o valor de f(x) é exatamente -2. Logo, intuitivamente, ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda, f(x) permanece constante em -2, então o limite à esquerda deve ser -2.
Passo 4
Dar uma prova epsilon–delta curta e direta (rigorosa). Seja \varepsilon>0 arbitrário. Tome qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1). Se x satisfaz 0-\delta<x<0 então, por definição da função, f(x)=-2. Portanto
|f(x)-(-2)|=|{-2}-(-2)|=0<\varepsilon.
Como esta desigualdade vale para todo \varepsilon>0 com a escolha de \delta acima, segue que
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-2.
Passo 5
Apresentar um argumento alternativo por sequências (pra fixar a ideia): escolha uma sequência x_n=-\tfrac{1}{n} que tende a 0 pela esquerda. Para todo n tem x_n<0 e então f(x_n)=-2. Assim f(x_n)\to -2 quando n\to\infty. Como isso ocorre para qualquer sequência que tende a 0 pela esquerda, o limite à esquerda é -2.