f(x)=\left\{\begin{aligned}-2 & \text { se } x<0 \\\\ 2 & \text { se } 0 \leqslant x\end{aligned}\right.
(b) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} -2 & \text{se } x<0,\\[4pt] 2 & \text{se } 0\leqslant x, \end{cases}
e pede para calcular
\lim_{x\to 0^{-}} f(x).
Ou seja: queremos o valor que f(x) se aproxima quando x tende a 0 vindo pela esquerda (valores de x menores que 0).]

Passo 2

Explicar claramente o que significa limite à esquerda. A afirmação
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=L
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0-\delta<x<0 (isto é, x está perto de 0 pela esquerda), vale
|f(x)-L|<\varepsilon.
Em palavras: aproximando-se de 0 por valores menores que 0, os valores de f(x) ficam tão próximos de L quanto se queira.

Passo 3

Olhar a definição da função no intervalo à esquerda de 0. O enunciado diz explicitamente que, para todo x<0,
f(x)=-2.
Isso quer dizer que para qualquer ponto à esquerda de 0 (por mais próximo de 0 que seja), o valor de f(x) é exatamente -2. Logo, intuitivamente, ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda, f(x) permanece constante em -2, então o limite à esquerda deve ser -2.

Passo 4

Dar uma prova epsilon–delta curta e direta (rigorosa). Seja \varepsilon>0 arbitrário. Tome qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1). Se x satisfaz 0-\delta<x<0 então, por definição da função, f(x)=-2. Portanto
|f(x)-(-2)|=|{-2}-(-2)|=0<\varepsilon.
Como esta desigualdade vale para todo \varepsilon>0 com a escolha de \delta acima, segue que
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-2.

Passo 5

Apresentar um argumento alternativo por sequências (pra fixar a ideia): escolha uma sequência x_n=-\tfrac{1}{n} que tende a 0 pela esquerda. Para todo n tem x_n<0 e então f(x_n)=-2. Assim f(x_n)\to -2 quando n\to\infty. Como isso ocorre para qualquer sequência que tende a 0 pela esquerda, o limite à esquerda é -2.

Resposta

-2

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