1. Proceda de forma análoga ao Exemplo 6 para resolver o problema de valor inicial , , onde
Use um software para traçar a função contínua (y(x)].

Passo 1

O enunciado
com
e condição inicial .

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão
dydx+2x1+x^2,y=f(x)1+x^2
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral 2x1+x^2dxr) =expl(ln(1+x^2)r)=1+x^2
Multiplicando a equação por mu obtemos
ddxl((1+x^2)yr)=f(x)

Passo 3

Para 0<= x<=1, temos f(x)=x. Integramos
(1+x^2)y=integral x,dx+C1=x^22+C1
Usando y(0)=0 vem C1=0. Assim
y(x)=x^22(1+x^2), 0<= x<=1

Passo 4

Para x>=1, f(x)=-x. Integramos
(1+x^2)y=integral(-x),dx+C2=-x^22+C2
Impondo continuidade em x=1: da solução anterior y(1^-)=tfrac14, logo
(1+1),14=12=-12+C2implies C2=1
Portanto
y(x)=-tfracx^22+11+x^2 =2-x^22(1+x^2), x>=1

Passo 5

A solução completa do problema
Para traçar (y(x)] num software como Python/Matplotlib, podemos usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def y(x):
    return np.where(
        x <= 1,
        x**2/(2*(1+x**2)),
        (2 - x**2)/(2*(1+x**2))
    )

xs = np.linspace(0, 5, 500)
plt.plot(xs, y(xs))
plt.axvline(1, color='gray', linestyle='--')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y(x)')
plt.title('Solução do problema \(34\)')
plt.grid(True)
plt.show()
```\]

Passo 6

O enunciado 35 pede um procedimento análogo para
y'+P(x),y=4x, y(0)=3,
onde
P(x)= 2, & 0<= x<=1, -tfrac2x, & x>1

Passo 7

Para 0<= x<=1, a equação é
y'+2y=4x
O fator integrante é mu=e^integral2dx=e^2x. Multiplicando,
ddx(e^2xy)=4x,e^2x
Integramos por partes:
integral4x,e^2xdx =2x,e^2x-integral2,e^2xdx =2x,e^2x-e^2x+C1 =e^2x(2x-1)+C1
Logo
e^2xy=e^2x(2x-1)+C1 implies y=2x-1+C1e^-2x
Usando y(0)=3 -1+C1=3implies C1=4. Então
y(x)=2x-1+4e^-2x, 0<= x<=1

Passo 8

Para x>1, a equação é
y'-2xy=4x
O fator integrante é
mu=e^integral(-2/x)dx=x^-2. Multiplicando,
ddx(x^-2y)=4xcdot x^-2=4x^-1
Integramos:
x^-2y=integral4x^-1dx+C2=4ln x+C2 implies y=x^2(4ln x+C2)
Impondo continuidade em x=1: da solução anterior y(1^-)=2-1+4e^-2=1+4e^-2, e para x=1^+ temos y(1^+)=C2. Logo
C2=1+4e^-2
e
y(x)=x^2l(4ln x+1+4e^-2r), x>1

Passo 9

A solução completa do problema
Para traçar em Python/Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def y35(x):
    return np.where(
        x <= 1,
        2*x - (1+4)*np.exp(-2*x),
        x**2*(4*np.log(x) + 1 + 4*np.exp(-2))
    )

xs = np.linspace(0.01, 5, 500)
plt.plot(xs, y35(xs))
plt.axvline(1, color='gray', linestyle='--')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y(x)')
plt.title('Solução do problema \(35\]')
plt.grid(True)
plt.show()
```\]

Resposta

(35].
]

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