- Proceda de forma análoga ao Exemplo 6 para resolver o problema de valor inicial
,
, onde
Use um software para traçar a função contínua (y(x)].
Passo 1
O enunciado
com
e condição inicial .
Passo 2
Reescrevemos em forma padrão
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
mu obtemos
Passo 3
Para
0<= x<=1 , temos
f(x)=x . Integramos
Usando
y(0)=0 vem
C1=0 . Assim
Passo 4
Para
x>=1 ,
f(x)=-x . Integramos
Impondo continuidade em
x=1 : da solução anterior
y(1^-)=tfrac14 , logo
Portanto
Passo 5
A solução completa do problema
Para traçar (y(x)] num software como Python/Matplotlib, podemos usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def y(x):
return np.where(
x <= 1,
x**2/(2*(1+x**2)),
(2 - x**2)/(2*(1+x**2))
)
xs = np.linspace(0, 5, 500)
plt.plot(xs, y(xs))
plt.axvline(1, color='gray', linestyle='--')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y(x)')
plt.title('Solução do problema \(34\)')
plt.grid(True)
plt.show()
```\]
Passo 6
O enunciado
35 pede um procedimento análogo para
onde
Passo 7
Para
0<= x<=1 , a equação é
O fator integrante é
mu=e^integral2dx=e^2x . Multiplicando,
Integramos por partes:
Logo
Usando
y(0)=3 dá
-1+C1=3implies C1=4 . Então
Passo 8
Para
x>1 , a equação é
O fator integrante é
mu=e^integral(-2/x)dx=x^-2 . Multiplicando,
Integramos:
Impondo continuidade em
x=1 : da solução anterior
y(1^-)=2-1+4e^-2=1+4e^-2 , e para
x=1^+ temos
y(1^+)=C2 . Logo
e
Passo 9
A solução completa do problema
Para traçar em Python/Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def y35(x):
return np.where(
x <= 1,
2*x - (1+4)*np.exp(-2*x),
x**2*(4*np.log(x) + 1 + 4*np.exp(-2))
)
xs = np.linspace(0.01, 5, 500)
plt.plot(xs, y35(xs))
plt.axvline(1, color='gray', linestyle='--')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y(x)')
plt.title('Solução do problema \(35\]')
plt.grid(True)
plt.show()
```\]
Resposta
(35].
]