Se f(x)=\ln x, verifique que:
f(x)+f(y)=f(x y)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\ln x e pede para verificar a igualdade
f(x)+f(y)=f(xy).
Informações e condições importantes fornecidas:
  • A função logaritmo natural \ln x só está definida para x>0.
  • Portanto a igualdade deve ser verificada para x>0 e y>0.
  • O que se pede é mostrar que, para quaisquer x>0 e y>0, vale \ln x+\ln y=\ln(xy).

Passo 2

Lembrete/definição útil (aulas rápidas de conceito):
  • A função exponencial e^t e o logaritmo natural \ln t são funções inversas. Isso significa que, para todo t\in\mathbb{R},
e^{\ln t}=t\quad\text{(quando \(t>0\))},
e para todo s\in\mathbb{R},
\ln(e^s)=s.
Explicando em palavras: \ln t é o número (único) s tal que e^{s}=t. Então aplicar \exp e depois \ln (ou vice‑versa) devolve o valor inicial, quando os argumentos estão nos domínios corretos.

Passo 3

Outra propriedade básica da exponencial (regra dos expoentes) que vamos usar:
  • Para quaisquer números reais u e v vale a identidade
e^{u+v}=e^{u}\,e^{v}.
Explicação rápida e intuitiva: a função exponencial transforma soma em produto — essa é a razão pela qual logaritmos transformam produto em soma. Formalmente, essa propriedade vem da definição/expansão da exponencial ou das propriedades das potências.

Passo 4

Aplicando as definições para verificar a igualdade:
  • Seja x>0 e y>0. Defina
a=\ln x,\qquad b=\ln y.
Pelo significado de \ln como inversa de e^{(\cdot)}, temos
e^{a}=x\quad\text{e}\quad e^{b}=y.
Multiplicando essas igualdades e usando a propriedade da exponencial do Passo 3,
e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}=x\,y.
Agora aplique o logaritmo natural aos dois lados; como \ln é a inversa de e^{(\cdot)}, obtém‑se
\ln(xy)=\ln\big(e^{a+b}\big)=a+b.
Lembrando que a=\ln x e b=\ln y, conclui‑se
\ln(xy)=\ln x+\ln y.

Passo 5

Interpretação final e observação prática:
  • A identidade \ln(xy)=\ln x+\ln y significa exatamente que f(x)+f(y)=f(xy) para todos x>0 e y>0.
  • Exemplo numérico rápido para conferir: \ln 2\approx0{,}6931, \ln 3\approx1{,}0986 então \ln 2+\ln 3\approx1{,}7917 e \ln 6\approx1{,}7918 (diferenças devido a arredondamento), que confirma a identidade na prática.

Resposta

A igualdade \ln x+\ln y=\ln(xy) vale para todos x>0 e y>0.

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