Se
, verifique que:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para verificar a igualdade
Informações e condições importantes fornecidas:
- A função logaritmo natural
só está definida para . - Portanto a igualdade deve ser verificada para
e . - O que se pede é mostrar que, para quaisquer
e , vale .
Passo 2
Lembrete/definição útil (aulas rápidas de conceito):
- A função exponencial
e o logaritmo natural são funções inversas. Isso significa que, para todo ,
e para todo
,
Explicando em palavras:
é o número (único)
tal que
. Então aplicar
e depois
(ou vice‑versa) devolve o valor inicial, quando os argumentos estão nos domínios corretos.
Passo 3
Outra propriedade básica da exponencial (regra dos expoentes) que vamos usar:
- Para quaisquer números reais
e vale a identidade
Explicação rápida e intuitiva: a função exponencial transforma soma em produto — essa é a razão pela qual logaritmos transformam produto em soma. Formalmente, essa propriedade vem da definição/expansão da exponencial ou das propriedades das potências.
Passo 4
Aplicando as definições para verificar a igualdade:
- Seja
e . Defina
Pelo significado de
como inversa de
, temos
Multiplicando essas igualdades e usando a propriedade da exponencial do Passo 3,
Agora aplique o logaritmo natural aos dois lados; como
é a inversa de
, obtém‑se
Lembrando que
e
, conclui‑se
Passo 5
Interpretação final e observação prática:
- A identidade
significa exatamente que para todos e . - Exemplo numérico rápido para conferir:
, então e (diferenças devido a arredondamento), que confirma a identidade na prática.
Resposta
A igualdade
vale para todos
e
.