Seja
. Determine os valores indicados sendo
um número real.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a expressão
onde
é um número real e
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
. -
.
A tarefa é apenas simplificar a fração indicada para.
Passo 2
Substituir
e
na diferença dividida por
. Assim:
Passo 3
Para simplificar, primeiro combinar as duas frações do numerador num único quociente. Usamos a identidade
com
e
. Aplicando isso obtemos:
Passo 4
Simplificar o numerador. Primeiro expandir
:
Substituindo na diferença do numerador:
Portanto
Passo 5
Fatorar
do numerador e cancelar com o
do denominador (permitido porque
):
então
Passo 6
Interpretação final curta (dica para prova): a expressão acima é a forma simplificada do quociente de diferenças para todo
. Se for preciso o derivado
, basta tomar o limite quando
:
Não é pedido no enunciado, mas é útil saber.