Seja f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}. Determine os valores indicados sendo a um número real.
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \operatorname{com} h \neq 0

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4} e pede para determinar a expressão
\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
onde a é um número real e h\neq 0.
Informações relevantes que temos:
  • f(a)=\dfrac{1}{a^{2}+4}.
  • f(a+h)=\dfrac{1}{(a+h)^{2}+4}.
    A tarefa é apenas simplificar a fração indicada para h\neq 0.

Passo 2

Substituir f(a+h) e f(a) na diferença dividida por h. Assim:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\dfrac{1}{(a+h)^{2}+4}-\dfrac{1}{a^{2}+4}}{h}.

Passo 3

Para simplificar, primeiro combinar as duas frações do numerador num único quociente. Usamos a identidade
\frac{1}{U}-\frac{1}{V}=\frac{V-U}{UV},
com U=(a+h)^{2}+4 e V=a^{2}+4. Aplicando isso obtemos:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a^{2}+4)-\big((a+h)^{2}+4\big)}{h\big((a+h)^{2}+4\big)\,(a^{2}+4)}.

Passo 4

Simplificar o numerador. Primeiro expandir (a+h)^{2}:
(a+h)^{2}=a^{2}+2ah+h^{2}.
Substituindo na diferença do numerador:
(a^{2}+4)-\big((a+h)^{2}+4\big)=(a^{2}+4)-(a^{2}+2ah+h^{2}+4)=-2ah-h^{2}.
Portanto
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{-2ah-h^{2}}{h\big((a+h)^{2}+4\big)\,(a^{2}+4)}.

Passo 5

Fatorar h do numerador e cancelar com o h do denominador (permitido porque h\neq 0):
-2ah-h^{2}=-h(2a+h),
então
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{-h(2a+h)}{h\big((a+h)^{2}+4\big)\,(a^{2}+4)}=-\frac{2a+h}{\big((a+h)^{2}+4\big)\,(a^{2}+4)}.

Passo 6

Interpretação final curta (dica para prova): a expressão acima é a forma simplificada do quociente de diferenças para todo h\neq 0. Se for preciso o derivado f'(a), basta tomar o limite quando h\to 0:
\lim_{h\to 0}\left(-\frac{2a+h}{\big((a+h)^{2}+4\big)\,(a^{2}+4)}\right)=-\frac{2a}{(a^{2}+4)^{2}}.
Não é pedido no enunciado, mas é útil saber.

Resposta

-\dfrac{2a+h}{\big((a+h)^{2}+4\big)\,(a^{2}+4)}

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