Se f(x)=e^{x}, verifique que f(x) f(y)=f(x+y).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=e^{x} e pede para verificar a igualdade
f(x)f(y)=f(x+y).
Informações relevantes:
  • f(x)=e^{x} para todo x real.
  • A tarefa é mostrar que, para quaisquer x,y reais, vale f(x)f(y)=f(x+y).

Passo 2

Vou usar a definição da função exponencial pela série de potências. A definição mais prática para provar esta propriedade é:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Explicando devagar:
  • O somatório significa que se soma os termos \dfrac{x^{0}}{0!},\dfrac{x^{1}}{1!},\dfrac{x^{2}}{2!},\ldots.
  • Aqui n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n!=1\cdot2\cdot3\cdots n e por convenção 0!=1.
  • Essa série converge para todo x\in\mathbb{R} e converge absolutamente (isso permite multiplicar séries e rearranjar termos com segurança). Intuição curta: como n! cresce muito rápido, os termos vão para zero rápido.

Passo 3

Escrevo o produto f(x)f(y) usando as séries:
f(x)f(y)=e^{x}e^{y}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{y^{m}}{m!}\right).
Como ambas as séries convergem absolutamente, posso usar o produto de Cauchy e escrever o produto como uma soma dupla:
e^{x}e^{y}=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\frac{y^{m}}{m!}.
Isto é apenas a expressão explícita do produto termo a termo.

Passo 4

Agrupo os termos da soma dupla segundo a soma dos índices. Defino N=n+m. Agrupando todos os pares (n,m) com n+m=N obtemos:
e^{x}e^{y}=\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{N}\frac{x^{k}}{k!}\frac{y^{\,N-k}}{(N-k)!}.
Aqui troquei o índice n por k para ficar mais claro: para cada N soma-se sobre k=0,1,\dots,N.

Passo 5

Na soma interna aparece uma combinação que lembra o binômio de Newton. Faço o passo que fecha a conta:
\sum_{k=0}^{N}\frac{x^{k}}{k!}\frac{y^{\,N-k}}{(N-k)!} =\frac{1}{N!}\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}x^{k}y^{\,N-k} =\frac{(x+y)^{N}}{N!}.
Explicando cada igualdade:
  • Multiplicando numerador e denominador por N! nota-se que \dfrac{1}{k!(N-k)!}=\dfrac{1}{N!}\binom{N}{k}.
  • A soma \sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}x^{k}y^{N-k} é exatamente o polinômio (x+y)^{N} pelo Teorema binomial.

Passo 6

Substituindo o resultado do passo anterior em \sum_{N=0}^{\infty} obtemos:
e^{x}e^{y}=\sum_{N=0}^{\infty}\frac{(x+y)^{N}}{N!}=e^{\,x+y}.
Portanto, para quaisquer x,y reais, vale
f(x)f(y)=f(x+y).
Missão cumprida — a exponencial transforma soma em multiplicação. Dá um quentinho: é por isso que exponencial é tão útil!

Resposta

\,f(x)f(y)=f(x+y)

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