Se
, verifique que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para verificar a igualdade
Informações relevantes:
-
para todo real. - A tarefa é mostrar que, para quaisquer
reais, vale .
Passo 2
Vou usar a definição da função exponencial pela série de potências. A definição mais prática para provar esta propriedade é:
Explicando devagar:
- O somatório significa que se soma os termos
. - Aqui
(lê-se “n fatorial”) é o produto e por convenção . - Essa série converge para todo
e converge absolutamente (isso permite multiplicar séries e rearranjar termos com segurança). Intuição curta: como cresce muito rápido, os termos vão para zero rápido.
Passo 3
Escrevo o produto
usando as séries:
Como ambas as séries convergem absolutamente, posso usar o produto de Cauchy e escrever o produto como uma soma dupla:
Isto é apenas a expressão explícita do produto termo a termo.
Passo 4
Agrupo os termos da soma dupla segundo a soma dos índices. Defino
. Agrupando todos os pares
com
obtemos:
Aqui troquei o índice
por
para ficar mais claro: para cada
soma-se sobre
.
Passo 5
Na soma interna aparece uma combinação que lembra o binômio de Newton. Faço o passo que fecha a conta:
Explicando cada igualdade:
- Multiplicando numerador e denominador por
nota-se que . - A soma
é exatamente o polinômio pelo Teorema binomial.
Passo 6
Substituindo o resultado do passo anterior em
obtemos:
Portanto, para quaisquer
reais, vale
Missão cumprida — a exponencial transforma soma em multiplicação. Dá um quentinho: é por isso que exponencial é tão útil!