- Também podemos deduzir pela fórmula acima que a derivada da soma de monômios é igual à soma das derivadas de cada monômio, ou seja, se
então
Para calcular a derivada de um polinômio, basta que o derivemos termo a termo. Exemplo: Se
, então
.
Passo 1
O enunciado nos dá um polinômio genérico e um exemplo concreto. Especificamente:
- Dado o polinômio
o objetivo é justificar por que sua derivada é
isto é, mostrar que podemos derivar termo a termo.
- Aplicar essa regra ao exemplo concreto
e calcular
.
Vou então provar a regra para potências e linearidade (para poder derivar coeficiente a coeficiente e somar os resultados) e em seguida aplicar ao exemplo, explicando cada passo com calma.
Passo 2
Definição básica de derivada (o que vamos usar como ferramenta): para uma função
que é diferenciável em
,
Isto significa que a derivada mede a razão de variação instantânea de
em
. A ideia é usar essa definição para funções do tipo
e mostrar a regra do expoente.
Passo 3
Provar a regra da potência para inteiros positivos:
para
.
Começamos aplicando a definição da derivada a
:
Agora expandimos
usando o Teorema do Binômio:
Substituindo na expressão do quociente:
Fatorando
do numerador:
Agora tomamos o limite
. Todos os termos que contêm pelo menos um fator
vão para zero. O único termo que permanece é o primeiro:
Como
, obtemos
Observação: para
(constante), a derivada é
, que é consistente com a fórmula se interpretarmos que não existem termos com
.
Passo 4
Regra do fator constante (multiplicação por constante): se
com
constante, então
Prova curta pela definição:
Isso permite puxar coeficientes
na frente da derivada de
.
Passo 5
Linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
, então
Prova pela definição:
ou seja, soma das derivadas (assumindo que os limites existem). Isso vale para soma de qualquer número finito de funções.
Passo 6
Juntando tudo: derivada de um polinômio termo a termo.
- Cada termo
tem derivada, pela regra da potência e da constante:
- A derivada do termo constante
é . - Pela linearidade, a derivada do somatório é o somatório das derivadas dos termos.
Portanto, para
temos
Uma forma compacta é
Passo 7
Aplicação ao exemplo passo a passo:
Dado
derivamos termo a termo:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
(constante):
Somando tudo:
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (memorização prática e como aplicar sem erro):
- Para cada termo
, multiplica por e diminui o expoente em : . - Termos constantes viram
. - Faça termo a termo e some os resultados — não é necessário refazer limites na hora, basta lembrar das regras provadas.
- Se tiver dúvida do porquê, lembre que a prova vem do binômio (para inteiros
) e da linearidade; isso é suficiente para polinômios.
Força aí — com essa receita prática dá para fazer direitinho e rápido na prova!