1. Também podemos deduzir pela fórmula acima que a derivada da soma de monômios é igual à soma das derivadas de cada monômio, ou seja, se
p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}
então
p^{\prime}(x)=n a_{n} x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\ldots+2 a_{2} x+a_{1}
Para calcular a derivada de um polinômio, basta que o derivemos termo a termo. Exemplo: Se p(x)= 4 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1, então p^{\prime}(x)=12 x^{2}-6 x+2.

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio genérico e um exemplo concreto. Especificamente:
  • Dado o polinômio
p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0},
o objetivo é justificar por que sua derivada é
p^{\prime}(x)=n a_{n} x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\ldots+2 a_{2} x+a_{1},
isto é, mostrar que podemos derivar termo a termo.
  • Aplicar essa regra ao exemplo concreto
p(x)=4 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1
e calcular p^{\prime}(x).
Vou então provar a regra para potências e linearidade (para poder derivar coeficiente a coeficiente e somar os resultados) e em seguida aplicar ao exemplo, explicando cada passo com calma.

Passo 2

Definição básica de derivada (o que vamos usar como ferramenta): para uma função f que é diferenciável em x,
f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Isto significa que a derivada mede a razão de variação instantânea de f em x. A ideia é usar essa definição para funções do tipo f(x)=x^{n} e mostrar a regra do expoente.

Passo 3

Provar a regra da potência para inteiros positivos: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para n\ge 1.
Começamos aplicando a definição da derivada a f(x)=x^{n}:
\frac{d}{dx}x^{n}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}.
Agora expandimos (x+h)^{n} usando o Teorema do Binômio:
(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k} = x^{n} + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^{2} + \cdots + h^{n}.
Substituindo na expressão do quociente:
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} = \frac{\binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^{2} + \cdots + h^{n}}{h}.
Fatorando h do numerador:
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} = \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \binom{n}{3}x^{n-3}h^{2} + \cdots + h^{\,n-1}.
Agora tomamos o limite h\to0. Todos os termos que contêm pelo menos um fator h vão para zero. O único termo que permanece é o primeiro:
\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=\binom{n}{1}x^{n-1}.
Como \binom{n}{1}=n, obtemos
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Observação: para n=0 (constante), a derivada é 0, que é consistente com a fórmula se interpretarmos que não existem termos com x^{-1}.

Passo 4

Regra do fator constante (multiplicação por constante): se f(x)=c\cdot g(x) com c constante, então
f^{\prime}(x)=c\cdot g^{\prime}(x).
Prova curta pela definição:
\frac{d}{dx}[c\cdot g(x)]=\lim_{h\to0}\frac{c\cdot g(x+h)-c\cdot g(x)}{h} = c\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=c\,g^{\prime}(x).
Isso permite puxar coeficientes a_{k} na frente da derivada de x^{k}.

Passo 5

Linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Se f(x)=g(x)+h(x), então
f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+h^{\prime}(x).
Prova pela definição:
\frac{d}{dx}[g(x)+h(x)]=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)+h(x+h)-g(x)-h(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h},
ou seja, soma das derivadas (assumindo que os limites existem). Isso vale para soma de qualquer número finito de funções.

Passo 6

Juntando tudo: derivada de um polinômio termo a termo.
  • Cada termo a_{k}x^{k} tem derivada, pela regra da potência e da constante:
\frac{d}{dx}\big(a_{k}x^{k}\big)=a_{k}\cdot k x^{k-1}.
  • A derivada do termo constante a_{0} é 0.
  • Pela linearidade, a derivada do somatório é o somatório das derivadas dos termos.
Portanto, para
p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0},
temos
p^{\prime}(x)=n a_{n} x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\ldots+2 a_{2} x+a_{1}.
Uma forma compacta é
p^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{n} k a_{k} x^{k-1}.

Passo 7

Aplicação ao exemplo passo a passo:
Dado
p(x)=4 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1,
derivamos termo a termo:
  • Derivada de 4 x^{3}:
\frac{d}{dx}(4 x^{3})=4\cdot\frac{d}{dx}x^{3}=4\cdot(3 x^{2})=12 x^{2}.
  • Derivada de -3 x^{2}:
\frac{d}{dx}(-3 x^{2})=-3\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=-3\cdot(2 x)=-6 x.
  • Derivada de 2 x:
\frac{d}{dx}(2 x)=2\cdot\frac{d}{dx}x=2\cdot 1=2.
  • Derivada de -1 (constante):
\frac{d}{dx}(-1)=0.
Somando tudo:
p^{\prime}(x)=12 x^{2}-6 x+2.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (memorização prática e como aplicar sem erro):
  • Para cada termo a x^{k}, multiplica por k e diminui o expoente em 1: a k x^{k-1}.
  • Termos constantes viram 0.
  • Faça termo a termo e some os resultados — não é necessário refazer limites na hora, basta lembrar das regras provadas.
  • Se tiver dúvida do porquê, lembre que a prova vem do binômio (para inteiros k) e da linearidade; isso é suficiente para polinômios.
Força aí — com essa receita prática dá para fazer direitinho e rápido na prova!

Resposta

p^{\prime}(x)=n a_{n} x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\ldots+2 a_{2} x+a_{1}
p^{\prime}(x)=12 x^{2}-6 x+2

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