Se f(x)=|x| entăo \frac{f(h)-f(0)}{h}=
A 1 se h>0,-1 se h<0.
B I se h<0,-1 se h>0.
C \frac{|x|}{x}
D Indefinido.
E N.R.A.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=|x| e pergunta qual é o valor da expressão
\frac{f(h)-f(0)}{h}
para valores de h. Informação fornecida relevante:
  • f(x)=|x|.
  • A expressão a avaliar é \dfrac{f(h)-f(0)}{h}.
  • As alternativas disponíveis são:
    A) 1 se h>0, -1 se h<0.
    B) 1 se h<0, -1 se h>0.
    C) \dfrac{|x|}{x}.
    D) Indefinido.
    E) N.R.A.

Passo 2

Calcule f(0). Pela definição do valor absoluto,
f(0)=|0|=0.
Então a expressão vira
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{|h|}{h},
desde que h\neq0 (porque não se pode dividir por zero).

Passo 3

Lembrando a definição do valor absoluto e suas propriedades básicas:
  • Se h>0 então |h|=h.
  • Se h<0 então |h|=-h.
  • Se h=0 então |h|=0.
Aplicando essas propriedades na expressão \dfrac{|h|}{h}:
Para h>0:
\frac{|h|}{h}=\frac{h}{h}=1.
Para h<0:
\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Para h=0:
\frac{|h|}{h}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada e, na prática, a expressão está indefinida quando h=0 (divisão por zero não é permitida).

Passo 4

Resumo do resultado obtido:
  • Para h>0 a expressão vale 1.
  • Para h<0 a expressão vale -1.
  • Para h=0 a expressão é indefinida.
Comparando com as alternativas, a alternativa A coincide exatamente com o nosso resultado para h\neq0 (e a alternativa A deixa implícito o caso h=0 sem definir, o que é correto pois aí a expressão não está definida).

Resposta

A

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