Sabe-se que uma função
satisfaz
Determine
e o domínio de
.
Passo 1
O enunciado dá a relação\r
e pede para determinar a expressão de
e seu domínio. Vamos usar manipulação algébrica para isolar
e depois analisar as restrições impostas pelos denominadores.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:\r
Em seguida, distribuímos no lado direito:\r
Passo 3
Reagrupamos os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:\r
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, isolamos
:
Passo 4
Agora, determinamos o domínio de
. Há duas restrições:\r
- Na expressão original,
para o denominador da fração. \r - Na forma final,
para não zerar o denominador. \r
\r
Da forma final temos. Para verificar se existe algum que torne , resolvemos\r
Dividindo ambos os lados por 3 e simplificando, chega-se a uma contradição, mostrando que
nunca vale
quando
. Portanto, a única restrição no domínio é\r
Resposta
A função é \r
e o domínio é \r