Hn+1(xi)=2 xi Hn(xi)-2 n Hn-1(xi)
Use-a, juntamente com a resposta de (a), para obter H5 e H6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com os polinômios de Hermite, que aparecem bastante na física e na matemática, especialmente na mecânica quântica. A equação que a gente tem é uma relação de recorrência, que serve pra calcular o próximo polinômio de Hermite a partir dos anteriores. Nosso objetivo aqui é usar essa relação, junto com a resposta da parte (a) que já deve ter me dado alguns polinômios anteriores, pra encontrar $ H_{5} H5 H_{6} $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a relação de recorrência que nos foi dada:
Hn+1(xi) = 2 xi Hn(xi) - 2 n Hn-1(xi)
Essa fórmula significa que, para encontrar o polinômio de Hermite de ordem $ n+1 n+1 ô n n ô n-1 n-1 ã H_{5} H5 H_{6} $.

Passo 3

Vamos começar calculando $ H_{5} H5 çãê n = 4 $:
n = 4
Agora, precisamos dos polinômios $ H_{4}(\xi) H5(xi) = 2 xi H4(xi) - 2 times 4 times H3(xi) H_{3}(\xi) $. Supondo que a parte (a) já nos deu esses polinômios, vamos usar os valores padrão:
  • $ H_{3}(\xi) = 8\xi^{3} - 12\xi $
  • $ H_{4}(\xi) = 16\xi^{4} - 48\xi^{2} + 12 $
Substituindo na fórmula:
H4(xi)
Vamos distribuir os termos:
H3(xi)
Agora, combinando os termos semelhantes:
H3(xi) = 8xi^3 - 12xi
H4(xi) = 16xi^4 - 48xi^2 + 12
Então, $ H_{5}(\xi) = 32\xi^{5} - 160\xi^{3} + 120\xi $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ H_{6} H6 çãê n = 5 $:
n = 5
Já encontramos $ H_{5}(\xi) H6(xi) = 2 xi H5(xi) - 2 times 5 times H4(xi) H_{4}(\xi) H5(xi) é 16\xi^{4} - 48\xi^{2} + 12 $. Vamos substituir:
H4(xi)
Distribuindo os termos:
16xi^4 - 48xi^2 + 12
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
H6(xi) = 2xi (32xi^5 - 160xi^3 + 120xi) - 10 (16xi^4 - 48xi^2 + 12)
= 64xi^6 - 320xi^4 + 240xi^2 - 160xi^4 + 480xi^2 - 120
Então, $ H_{6}(\xi) = 64\xi^{6} - 480\xi^{4} + 720\xi^{2} - 120 $.

Resposta

Os polinômios de Hermite solicitados são:
H5(xi) = 32xi^5 - 160xi^3 + 120xi
e
H6(xi) = 64xi^6 - 480xi^4 + 720xi^2 - 120

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