Use-a, juntamente com a resposta de (a), para obter
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com os polinômios de Hermite, que aparecem bastante na física e na matemática, especialmente na mecânica quântica. A equação que a gente tem é uma relação de recorrência, que serve pra calcular o próximo polinômio de Hermite a partir dos anteriores. Nosso objetivo aqui é usar essa relação, junto com a resposta da parte (a) que já deve ter me dado alguns polinômios anteriores, pra encontrar $ H_{5}
H_{6} $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a relação de recorrência que nos foi dada:
Essa fórmula significa que, para encontrar o polinômio de Hermite de ordem $ n+1
n
n-1
H_{5}
H_{6} $.
Passo 3
Vamos começar calculando $ H_{5}
n = 4 $:
Agora, precisamos dos polinômios $ H_{4}(\xi)
H_{3}(\xi) $. Supondo que a parte (a) já nos deu esses polinômios, vamos usar os valores padrão:
- $ H_{3}(\xi) = 8\xi^{3} - 12\xi $
- $ H_{4}(\xi) = 16\xi^{4} - 48\xi^{2} + 12 $
Substituindo na fórmula:
Vamos distribuir os termos:
Agora, combinando os termos semelhantes:
Então, $ H_{5}(\xi) = 32\xi^{5} - 160\xi^{3} + 120\xi $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ H_{6}
n = 5 $:
Já encontramos $ H_{5}(\xi)
H_{4}(\xi)
16\xi^{4} - 48\xi^{2} + 12 $. Vamos substituir:
Distribuindo os termos:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Então, $ H_{6}(\xi) = 64\xi^{6} - 480\xi^{4} + 720\xi^{2} - 120 $.
Resposta
Os polinômios de Hermite solicitados são:
e