Seja f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}. Determine os valores indicados sendo a um número real.
\sqrt{f(a)}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4} e pede para determinar \sqrt{f(a)}, onde a é um número real.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}.
  • O parâmetro é a\in\mathbb{R}.
  • O que se quer é a raiz quadrada principal de f(a): \sqrt{f(a)}.

Passo 2

Verificar primeiro se f(a) é um número não negativo (para que a raiz quadrada real exista). Como a é real, tem-se a^{2}\ge 0. Portanto
a^{2}+4 \ge 0+4 = 4>0.
Assim o denominador de f(a) é estritamente positivo, logo
f(a)=\frac{1}{a^{2}+4}>0.
Portanto a raiz quadrada principal \sqrt{f(a)} está bem definida como número real não negativo.

Passo 3

Usar agora a propriedade das raízes para números positivos: para u>0 e v>0 vale \sqrt{\dfrac{u}{v}}=\dfrac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}}. Aplicando com u=1 e v=a^{2}+4 obtemos
\sqrt{f(a)}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}+4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{a^{2}+4}}.
Como \sqrt{1}=1, isso simplifica para
\sqrt{f(a)}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+4}}.

Passo 4

Dar uma forma alternativa equivalente e comentar: a expressão acima também pode ser escrita usando potência fracionária como
\sqrt{f(a)}=(a^{2}+4)^{-1/2}.
Exemplo numérico rápido para verificar o sentido: se a=0 então f(0)=\dfrac{1}{0^{2}+4}=\dfrac{1}{4} e \sqrt{f(0)}=\dfrac{1}{2}, que coincide com \dfrac{1}{\sqrt{0^{2}+4}}=\dfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+4}}

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