Se
f(x)=3 x^3-2 x^2-x+42 x^2+4 x+2
então lim x -1 f(x) é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos dá a função
f(x) = 3x^3 - 2x^2 - x + 42x^2 + 4x + 2
e pede para calcular limx -1 f(x). Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -1 diretamente na função para ver o que acontece:
f(-1) = 3(-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 42(-1)^2 + 4(-1) + 2
Calculando o numerador:
3(-1)^3 = -3, -2(-1)^2 = -2, -(-1) = 1, então -3 - 2 + 1 + 4 = 0 ã
Calculando o denominador:
2(-1)^2 = 2, 4(-1) = -4, então 2 - 4 + 2 = 0 ã
Obtemos 0/0, que é uma forma indeterminada. Então, precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para tentar cancelar algum fator comum. Começando pelo denominador:
2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1)^2
Agora, vamos fatorar o numerador 3x^3 - 2x^2 - x + 4. Sabemos que x = -1 é raiz porque substituímos e deu zero. Então, (x + 1) é um fator. Vamos dividir o polinômio por (x + 1):
Usando divisão sintética:
-1 , | , 3 -2 -1 4 -3 5 -4 3 -5 4 0
Isso nos dá o quociente 3x^2 - 5x + 4, então:
3x^3 - 2x^2 - x + 4 = (x + 1)(3x^2 - 5x + 4)

Passo 4

Agora, podemos simplificar a função original substituindo os fatores:
f(x) = (x + 1)(3x^2 - 5x + 4)2(x + 1)^2 = 3x^2 - 5x + 42(x + 1)
Observamos que (x + 1) foi cancelado, mas ainda temos um (x + 1) no denominador.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada:
limx -1 3x^2 - 5x + 42(x + 1)
Substituindo x = -1 no numerador:
3(-1)^2 - 5(-1) + 4 = 3 + 5 + 4 = 12
No denominador, temos:
2(-1 + 1) = 2(0) = 0
Então, o limite se aproxima de 12/0. Isso significa que o limite tende ao infinito.

Resposta

O limite é igual a +infty.

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