f(x, y)=4 y^3+raizx^2+y^2. Encontre partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

O problema pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=4y^3+raizx^2+y^2. Aqui a matéria é derivada parcial de função de duas variáveis e vamos usar definição de derivada parcial (tratando a outra variável como constante) e regra da cadeia para a parte da raiz.

Passo 2

Para partial fpartial x tratamos y como constante. A derivada de 4y^3 em relação a x é zero. Em seguida aplicamos a regra da cadeia em raizx^2+y^2:
partial fpartial x =0+12raizx^2+y^2cdotpartialpartial x(x^2+y^2) =0+12raizx^2+y^2cdot2x =xraizx^2+y^2

Passo 3

Para partial fpartial y tratamos x como constante. A derivada de 4y^3 é 12y^2, e novamente usamos regra da cadeia em raizx^2+y^2:
partial fpartial y =12y^2+12raizx^2+y^2cdotpartialpartial y(x^2+y^2) =12y^2+12raizx^2+y^2cdot2y =12y^2+yraizx^2+y^2

Resposta

As derivadas parciais são partial fpartial x=xraizx^2+y^2 e partial fpartial y=12y^2+yraizx^2+y^2.

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