.
a. Para qual valor de
é uma fdp?;
b. Calcule
;
c. Calcule
;
d. Calcule
;
a. Para qual valor de
b. Calcule
c. Calcule
d. Calcule
Passo 1
O enunciado dá uma densidade conjunta
em
e
e pede: a) encontrar
para normalizar a fdp; b) calcular
; c) calcular
; d) calcular
.
Passo 2
Para achar
, usamos a condição de normalização
. Primeiro integramos em
:
Depois integramos em
y de 0 a 1, o que só multiplica por 1, então
k/2=1 e assim
k=2 .
Passo 3
Para calcular
P(x<1/2,,y>1/2) , fazemos
A integral em
x dá
integral0^1/22x,dx=l[x^2r]0^1/2=1/4 e em
y sobre
[1/2,1] temos fator
1/2 , logo o resultado é
(1/4)times(1/2)=1/8 .
Passo 4
Para
P(x<1/2mid y=1/2) , precisamos da densidade condicional
fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y) . Primeiro a marginal de
Y é
ou seja
Y é uniforme. Então
para todo
0<x<1 . Assim
Passo 5
Como
X e
Y são independentes,
E(Xmid Y=1/2)=E(X) . E
Resposta
a)
k=2 ; b)
1/8 ; c)
1/4 ; d)
2/3 .