f(x, y)=k x, 0<x<1,0<y<1.
a. Para qual valor de k, f(x, y) é uma fdp?;
b. Calcule P(x<1 / 2, y>1 / 2);
c. Calcule P(x<1 / 2 / y=1 / 2);
d. Calcule E(x / y=1 / 2);

Passo 1

O enunciado dá uma densidade conjunta f(x,y)=kx em 0<x<1 e 0<y<1 e pede: a) encontrar k para normalizar a fdp; b) calcular P(x<1/2,,y>1/2); c) calcular P(x<1/2mid y=1/2); d) calcular E(xmid y=1/2).

Passo 2

Para achar k, usamos a condição de normalização integral dupla0<x<1,,0<y<1f(x,y),dx,dy=1. Primeiro integramos em x:
integral0^1kx,dx=kx^22|0^1=k2
Depois integramos em y de 0 a 1, o que só multiplica por 1, então k/2=1 e assim k=2.

Passo 3

Para calcular P(x<1/2,,y>1/2), fazemos
integraly=1/2^1integralx=0^1/22x,dx,dy
A integral em x integral0^1/22x,dx=l[x^2r]0^1/2=1/4 e em y sobre [1/2,1] temos fator 1/2, logo o resultado é (1/4)times(1/2)=1/8.

Passo 4

Para P(x<1/2mid y=1/2), precisamos da densidade condicional fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y). Primeiro a marginal de Y é
fY(y)=integral0^12x,dx=1,
ou seja Y é uniforme. Então
fX|Y(xmid y)=2x,
para todo 0<x<1. Assim
P(x<1/2mid y=1/2)=integral0^1/22x,dx=1/4

Passo 5

Como X e Y são independentes, E(Xmid Y=1/2)=E(X). E
E(X)=integral0^1xcdot2x,dx=2integral0^1x^2,dx=2cdot13=23

Resposta

a) k=2; b) 1/8; c) 1/4; d) 2/3.

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