Se f(x, y)=\operatorname{sen}\left(\frac{x}{1+y}\right), calcule \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\sin\!\bigl(\tfrac{x}{1+y}\bigr)
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Para isso vamos usar a regra da cadeia, pois f é composta de \sin(u) com u=\tfrac{x}{1+y}.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} aplicamos a regra da cadeia:
  1. A derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u).
  2. A derivada de u=\tfrac{x}{1+y} em relação a x é \tfrac{1}{1+y}.
    Juntando,
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{1+y}\Bigr)\cdot\frac{1}{1+y}.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} também usamos a regra da cadeia:
  1. \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
  2. \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\tfrac{x}{1+y}\bigr) =x\cdot\frac{d}{dy}(1+y)^{-1} =x\cdot\bigl(-1\bigr)(1+y)^{-2} =-\frac{x}{(1+y)^2}.
    Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} =\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{1+y}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{x}{(1+y)^2}\Bigr) =-\frac{x}{(1+y)^2}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{1+y}\Bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{x}{1+y}\bigr)}{1+y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{x}{(1+y)^2}\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{1+y}\bigr).

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