Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções então f é diferenciável
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é: “Se
tem derivada direcional em todas as direções, então
é diferenciável.” Vamo entender o que isso significa. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas direcionais e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são derivadas direcionais e o que significa uma função ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Imagine que você tem uma função
e quer saber como ela está mudando em uma certa direção no ponto
. A derivada direcional nessa direção é basicamente a taxa de variação da função nessa direção específica. Matematicamente, se
é um vetor que indica a direção, a derivada direcional de
em
é dada por:
Passo 3
Agora, o que significa
ser diferenciável em
? Significa que
pode ser bem aproximada por uma função linear perto desse ponto. Ou seja, existe uma função linear
tal que:
Isso implica que
tem derivadas parciais em
e que
é “suave” o suficiente nesse ponto.
Passo 4
A grande questão aqui é: ter derivadas direcionais em todas as direções garante que
seja diferenciável? Na verdade, não necessariamente. Embora a existência das derivadas direcionais em todas as direções seja uma condição necessária para a diferenciabilidade, ela não é suficiente por si só. Existem funções que têm todas as derivadas direcionais em um ponto, mas que não são diferenciáveis nesse ponto.
Passo 5
Vamos ver um exemplo famoso para ilustrar isso. Considere a função:
Essa função tem derivadas direcionais em todas as direções no ponto
, mas não é diferenciável nesse ponto. Isso ocorre porque a aproximação linear que deveria existir para a diferenciabilidade não se comporta bem em todas as direções.
Passo 6
Portanto, concluímos que, embora a existência de derivadas direcionais em todas as direções seja uma condição necessária para a diferenciabilidade, ela não garante a diferenciabilidade por si só. Precisamos de condições adicionais, como continuidade das derivadas parciais ou a existência de um gradiente que se aproxime linearmente da função, para assegurar que
seja diferenciável.
Resposta
Não, o fato de
ter derivadas direcionais em todas as direções não garante que
seja diferenciável.