Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções então f é diferenciável

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é: “Se tem derivada direcional em todas as direções, então é diferenciável.” Vamo entender o que isso significa. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas direcionais e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são derivadas direcionais e o que significa uma função ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Imagine que você tem uma função e quer saber como ela está mudando em uma certa direção no ponto . A derivada direcional nessa direção é basicamente a taxa de variação da função nessa direção específica. Matematicamente, se é um vetor que indica a direção, a derivada direcional de em é dada por:

Passo 3

Agora, o que significa ser diferenciável em ? Significa que pode ser bem aproximada por uma função linear perto desse ponto. Ou seja, existe uma função linear tal que:
Isso implica que tem derivadas parciais em e que é “suave” o suficiente nesse ponto.

Passo 4

A grande questão aqui é: ter derivadas direcionais em todas as direções garante que seja diferenciável? Na verdade, não necessariamente. Embora a existência das derivadas direcionais em todas as direções seja uma condição necessária para a diferenciabilidade, ela não é suficiente por si só. Existem funções que têm todas as derivadas direcionais em um ponto, mas que não são diferenciáveis nesse ponto.

Passo 5

Vamos ver um exemplo famoso para ilustrar isso. Considere a função:
Essa função tem derivadas direcionais em todas as direções no ponto , mas não é diferenciável nesse ponto. Isso ocorre porque a aproximação linear que deveria existir para a diferenciabilidade não se comporta bem em todas as direções.

Passo 6

Portanto, concluímos que, embora a existência de derivadas direcionais em todas as direções seja uma condição necessária para a diferenciabilidade, ela não garante a diferenciabilidade por si só. Precisamos de condições adicionais, como continuidade das derivadas parciais ou a existência de um gradiente que se aproxime linearmente da função, para assegurar que seja diferenciável.

Resposta

Não, o fato de ter derivadas direcionais em todas as direções não garante que seja diferenciável.

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