f(x, y)=x^2+x y3, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2
Seja B=X+Y >= 1. Calcule P(B).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função f(x, y) = x^2 + x y3 definida para 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2. Queremos calcular a probabilidade P(B) onde B é o conjunto de pontos (X, Y) que satisfazem X + Y >= 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade conjunta e integrais duplas para encontrar a área sob a função f(x, y) na região definida por B.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde X + Y >= 1. No plano XY, isso forma uma área acima da linha y = 1 - x dentro dos limites dados para x e y. Então, nosso objetivo é integrar a função f(x, y) sobre essa região.

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para x e y. Observando que x varia de 0 a 1 e y de 0 a 2, e considerando a condição x + y >= 1, podemos reescrever isso como y >= 1 - x. Então, para cada valor de x, y vai de 1 - x até 2.

Passo 4

Agora, montamos a integral dupla para calcular P(B):
P(B) = integralx=0^1 integraly=1 - x^2 ( x^2 + x y3 ) dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro:
integral1 - x^2 ( x^2 + x y3 ) dy = x^2(y) |1 - x^2 + x3 ( y^22 ) |1 - x^2
Calculando os limites:
= x^2(2 - (1 - x)) + x3 ( 42 - (1 - x)^22 )
Simplificando:
= x^2(1 + x) + x3 ( 2 - (1 - 2x + x^2)2 )
Continuando a simplificação:
= x^2 + x^3 + x3 ( 2 - 12 + x - x^22 )
= x^2 + x^3 + x3 ( 32 + x - x^22 )

Passo 6

Agora, integramos em relação a x de 0 a 1:
P(B) = integral0^1 ( x^2 + x^3 + x3 ( 32 + x - x^22 ) ) dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
= integral0^1 ( x^2 + x^3 + x cdot 323 + x^23 - x^36 ) dx
= integral0^1 ( x^2 + x^3 + 12x + x^23 - x^36 ) dx

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral0^1 x^2 dx = x^33 |0^1 = 13
integral0^1 x^3 dx = x^44 |0^1 = 14
integral0^1 12x dx = 12 cdot x^22 |0^1 = 14
integral0^1 x^23 dx = 13 cdot x^33 |0^1 = 19
integral0^1 -x^36 dx = -16 cdot x^44 |0^1 = -124

Passo 8

Somando todos os resultados:
P(B) = 13 + 14 + 14 + 19 - 124
Vamos encontrar um denominador comum, que é 72:
= 2472 + 1872 + 1872 + 872 - 372 = 6572

Resposta

A probabilidade P(B) é 6572.

Exercícios relacionados