Suponha que
é uma variável aleatória que mede um escore de um indivíduo, num teste de aptidão em matemática, que varia entre 0 e 1. E seja
o seu escore em um teste de aptidão em música que também varia entre 0 e 1 . Suponha que na população dos alunos de um dado colégio os escores
e
são distribuídos de acordo qual a função de densidade:
Se um estudante obteve um escore de 0,3 no teste de matemática, qual a probabilidade do seu escore de música ser maior que 0,8 ?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que representam escores em matemática e música, respectivamente, variando de 0 a 1. A função de densidade conjunta é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que, dado que um aluno obteve um escore de 0,3 em matemática ($ X = 0,3
Y $) seja maior que 0,8. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade condicional e funções de densidade conjuntas.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com probabilidades condicionais, vamos lembrar que a probabilidade de $ Y > 0,8 $ dado $ X = 0,3 $ é dada por:
Aqui, $ f_{X,Y}(0,3, Y > 0,8) $ representa a função de densidade conjunta para $ X = 0,3 $ e $ Y > 0,8 $, e $ f_X(0,3) $ é a função de densidade marginal de $ X $ em $ X = 0,3 $.
Passo 3
Vamos calcular a função de densidade marginal $ f_X(x) $. Isso é feito integrando a função de densidade conjunta em relação a $ y $:
Resolvendo a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ f_{X,Y}(0,3, Y > 0,8) $, que é a função de densidade conjunta para $ X = 0,3 $ e $ Y > 0,8 $:
Substituindo $ x = 0,3 $ na função de densidade conjunta:
Portanto:
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ f_X(0,3) $ usando a função de densidade marginal que encontramos:
Resposta
A probabilidade de que o escore de música seja maior que 0,8, dado que o escore de matemática é 0,3, é de aproximadamente $ 0,314 $ ou 31,4%.