Suponha que X é uma variável aleatória que mede um escore de um indivíduo, num teste de aptidão em matemática, que varia entre 0 e 1. E seja Y o seu escore em um teste de aptidão em música que também varia entre 0 e 1 . Suponha que na população dos alunos de um dado colégio os escores X e Y são distribuídos de acordo qual a função de densidade:
f(x, y)=25(2 x+3 y), 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1
Se um estudante obteve um escore de 0,3 no teste de matemática, qual a probabilidade do seu escore de música ser maior que 0,8 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que representam escores em matemática e música, respectivamente, variando de 0 a 1. A função de densidade conjunta é dada por:
X
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que, dado que um aluno obteve um escore de 0,3 em matemática ($ X = 0,3 Y ú Y $) seja maior que 0,8. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade condicional e funções de densidade conjuntas.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com probabilidades condicionais, vamos lembrar que a probabilidade de $ Y > 0,8 $ dado $ X = 0,3 $ é dada por:
Y > 0,8
Aqui, $ f_{X,Y}(0,3, Y > 0,8) $ representa a função de densidade conjunta para $ X = 0,3 $ e $ Y > 0,8 $, e $ f_X(0,3) $ é a função de densidade marginal de $ X $ em $ X = 0,3 $.

Passo 3

Vamos calcular a função de densidade marginal $ f_X(x) $. Isso é feito integrando a função de densidade conjunta em relação a $ y $:
fX(x)
Resolvendo a integral:
y

Passo 4

Agora, vamos calcular $ f_{X,Y}(0,3, Y > 0,8) $, que é a função de densidade conjunta para $ X = 0,3 $ e $ Y > 0,8 $:
fX,Y(0,3, Y > 0,8)
Substituindo $ x = 0,3 $ na função de densidade conjunta:
X = 0,3
Portanto:
Y > 0,8
Calculando a integral:
P(Y > 0,8 mid X = 0,3) = integral0,8^1 f(0,3, y) , dyfX(0,3)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ f_X(0,3) $ usando a função de densidade marginal que encontramos:
fX(0,3)

Resposta

A probabilidade de que o escore de música seja maior que 0,8, dado que o escore de matemática é 0,3, é de aproximadamente $ 0,314 $ ou 31,4%.

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