A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório (X1, X2) é dada por:
fX1, X2(x1, x2)=k IA(x)
em que A é a região formada pelas retas que passam pelos pontos (0,0),(1,1),(0,2) e (-1,1).
Encontre o valor de k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade envolvendo uma função densidade conjunta $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k , I_{A}(x) $. Aqui, $ I_{A}(x) $ é a função indicadora da região $ A $, que é delimitada pelas retas que passam pelos pontos fX1, X2(x1, x2) = k , IA(x) , IA(x) , A e (0,0). Nosso objetivo é encontrar o valor de $ k $.
Para resolver isso, precisamos lembrar que a integral da função densidade de probabilidade sobre toda a região deve ser igual a 1. Ou seja, . Como $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k $ dentro da região $ A $ e zero fora dela, basta calcular a área da região $ A $ e ajustar $ k $ para que o total seja 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a forma da região $ A $. Os pontos dados são A , (0,0), (1,1) e (0,2). Se conectarmos esses pontos, percebemos que formam um losango (ou diamante) no plano cartesiano.
Vamos visualizar:
  • (-1,1) até (0,0)
  • (1,1) até (1,1)
  • (0,2) até (0,2)
  • (-1,1) até (-1,1)
Esse formato simétrico é fácil de calcular a área.

Passo 3

Para calcular a área de um losango, usamos a fórmula que envolve as diagonais:
Área = d1 times d22 Á
onde $ d_{1} $ e $ d_{2} $ são os comprimentos das diagonais do losango.

Passo 4

Vamos identificar as diagonais do nosso losango:
  • Uma diagonal vai de (0,0) a (0,2). A distância entre esses pontos no eixo $ y $ é $ 2 $ unidades, então $ d_{1} = 2 $.
  • A outra diagonal vai de y a 2 . A distância entre esses pontos no eixo $ x $ é $ 2 $ unidades, então $ d_{2} = 2 $.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da área:
Área = 2 times 22 = 42 = 2 Á
Então, a área da região $ A $ é igual a $ 2 $ unidades quadradas.

Passo 6

Sabemos que a integral da função densidade sobre toda a região deve ser igual a $ 1 $:
1 Á
Substituindo a área que encontramos:
k times Área = 1

Passo 7

Resolvendo para $ k $:
k

Resposta

O valor de $ k $ é k .

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