A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório
é dada por:
em que
é a região formada pelas retas que passam pelos pontos
e
.
Encontre o valor de k.
Encontre o valor de k.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade envolvendo uma função densidade conjunta $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k , I_{A}(x) $. Aqui, $ I_{A}(x) $ é a função indicadora da região $ A $, que é delimitada pelas retas que passam pelos pontos
,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ k $.
Para resolver isso, precisamos lembrar que a integral da função densidade de probabilidade sobre toda a região deve ser igual a 1. Ou seja, . Como $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k $ dentro da região $ A $ e zero fora dela, basta calcular a área da região $ A $ e ajustar $ k $ para que o total seja 1.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a forma da região $ A $. Os pontos dados são
,
,
e
. Se conectarmos esses pontos, percebemos que formam um losango (ou diamante) no plano cartesiano.
Vamos visualizar:
-
até -
até -
até -
até
Esse formato simétrico é fácil de calcular a área.
Passo 3
Para calcular a área de um losango, usamos a fórmula que envolve as diagonais:
onde $ d_{1} $ e $ d_{2} $ são os comprimentos das diagonais do losango.
Passo 4
Vamos identificar as diagonais do nosso losango:
- Uma diagonal vai de
a . A distância entre esses pontos no eixo $ y $ é $ 2 $ unidades, então $ d_{1} = 2 $. - A outra diagonal vai de
a . A distância entre esses pontos no eixo $ x $ é $ 2 $ unidades, então $ d_{2} = 2 $.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da área:
Então, a área da região $ A $ é igual a $ 2 $ unidades quadradas.
Passo 6
Sabemos que a integral da função densidade sobre toda a região deve ser igual a $ 1 $:
Substituindo a área que encontramos:
Passo 7
Resolvendo para $ k $:
Resposta
O valor de $ k $ é
.