Um sistema é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando ou está estragado. Considere um experimento aleatório que consiste em observar a condição de cada componente e represente o resultado do experimento como o vetor ( x1, x2, ldots, x5 ), em que 1, se o componente i para todo i=1,2, ldots, estiver funcionando, 5 xi= 0 , se o componente i estiver estragado. Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1, 3 e 5 estiverem funcionando. Existem quantos resultados no evento W em que o sistema irá funcionar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um sistema com 5 componentes, e cada um pode estar funcionando (representado por 1) ou estragado (representado por 0). Queremos descobrir quantas combinações desses componentes fazem o sistema funcionar, de acordo com as condições dadas. Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas possibilidades existem no total. Cada componente tem 2 estados possíveis: funcionando ou estragado. Como são 5 componentes, o número total de resultados possíveis é 2^5 = 32.

Passo 3

Agora, vamos identificar as condições para o sistema funcionar:
  1. Condição A: Componentes 1 e 2 estão funcionando.
  2. Condição B: Componentes 3 e 4 estão funcionando.
  3. Condição C: Componentes 1, 3 e 5 estão funcionando.
Queremos saber quantas combinações atendem pelo menos uma dessas condições.

Passo 4

Vamos calcular o número de resultados que satisfazem cada condição individualmente:
  • Condição A: Se os componentes 1 e 2 estão funcionando, os demais (3, 4 e 5) podem estar em qualquer estado. Então, temos 2^3 = 8 combinações.
  • Condição B: Se os componentes 3 e 4 estão funcionando, os demais (1, 2 e 5) podem estar em qualquer estado. Novamente, 2^3 = 8 combinações.
  • Condição C: Se os componentes 1, 3 e 5 estão funcionando, os demais (2 e 4) podem estar em qualquer estado. Aqui, temos 2^2 = 4 combinações.

Passo 5

Agora, precisamos considerar que algumas combinações podem satisfazer mais de uma condição ao mesmo tempo. Para evitar contar essas sobreposições mais de uma vez, usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão.
A fórmula para três conjuntos é:
|A cup B cup C| = |A| + |B| + |C| - |A cap B| - |A cap C| - |B cap C| + |A cap B cap C|
Vamos calcular cada termo:
  • Interseção A ∩ B: Componentes 1, 2, 3 e 4 estão funcionando. O componente 5 pode estar em qualquer estado. Então, 2^1 = 2 combinações.
  • Interseção A ∩ C: Componentes 1, 2, 3 e 5 estão funcionando. O componente 4 pode estar em qualquer estado. Assim, 2^1 = 2 combinações.
  • Interseção B ∩ C: Componentes 1, 3, 4 e 5 estão funcionando. O componente 2 pode estar em qualquer estado. Novamente, 2^1 = 2 combinações.
  • Interseção A ∩ B ∩ C: Todos os componentes 1, 2, 3, 4 e 5 estão funcionando. Há apenas 1 combinação.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
|A cup B cup C| = 8 + 8 + 4 - 2 - 2 - 2 + 1 = 15

Resposta

Existem 15 resultados no evento W em que o sistema irá funcionar.

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