Um sistema é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando ou está estragado. Considere um experimento aleatório que consiste em observar a condição de cada componente e represente o resultado do experimento como o vetor (
), em que 1, se o componente i para todo
, estiver funcionando,
0 , se o componente
estiver estragado. Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1, 3 e 5 estiverem funcionando. Existem quantos resultados no evento
em que o sistema irá funcionar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um sistema com 5 componentes, e cada um pode estar funcionando (representado por 1) ou estragado (representado por 0). Queremos descobrir quantas combinações desses componentes fazem o sistema funcionar, de acordo com as condições dadas. Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas possibilidades existem no total. Cada componente tem 2 estados possíveis: funcionando ou estragado. Como são 5 componentes, o número total de resultados possíveis é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as condições para o sistema funcionar:
- Condição A: Componentes 1 e 2 estão funcionando.
- Condição B: Componentes 3 e 4 estão funcionando.
- Condição C: Componentes 1, 3 e 5 estão funcionando.
Queremos saber quantas combinações atendem pelo menos uma dessas condições.
Passo 4
Vamos calcular o número de resultados que satisfazem cada condição individualmente:
-
Condição A: Se os componentes 1 e 2 estão funcionando, os demais (3, 4 e 5) podem estar em qualquer estado. Então, temos
combinações. -
Condição B: Se os componentes 3 e 4 estão funcionando, os demais (1, 2 e 5) podem estar em qualquer estado. Novamente,
combinações. -
Condição C: Se os componentes 1, 3 e 5 estão funcionando, os demais (2 e 4) podem estar em qualquer estado. Aqui, temos
combinações.
Passo 5
Agora, precisamos considerar que algumas combinações podem satisfazer mais de uma condição ao mesmo tempo. Para evitar contar essas sobreposições mais de uma vez, usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão.
A fórmula para três conjuntos é:
Vamos calcular cada termo:
-
Interseção A ∩ B: Componentes 1, 2, 3 e 4 estão funcionando. O componente 5 pode estar em qualquer estado. Então,
combinações. -
Interseção A ∩ C: Componentes 1, 2, 3 e 5 estão funcionando. O componente 4 pode estar em qualquer estado. Assim,
combinações. -
Interseção B ∩ C: Componentes 1, 3, 4 e 5 estão funcionando. O componente 2 pode estar em qualquer estado. Novamente,
combinações. -
Interseção A ∩ B ∩ C: Todos os componentes 1, 2, 3, 4 e 5 estão funcionando. Há apenas
combinação.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Resposta
Existem 15 resultados no evento
em que o sistema irá funcionar.