Verifique se as variáveis aleatórias X e Y são independentes quando a densidade conjunta delas forem igual a:
(a) f(x, y)=6 e^-2 x e^-3 y, 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se as variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são independentes. A matéria aqui é sobre probabilidade de variáveis aleatórias e, mais especificamente, sobre a independência entre elas. Para resolver isso, vamos precisar entender a densidade conjunta e as densidades marginais das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis serem independentes. Duas variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes se a densidade conjunta $ f(x, y) $ for igual ao produto das densidades marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $. Ou seja:
X
Então, nosso objetivo é encontrar as densidades marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $ e verificar se essa igualdade vale.

Passo 3

Vamos começar encontrando a densidade marginal de $ X $, que é $ f_X(x) $. Para isso, a gente integra a densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
X
Como $ 6 e^{-2x} $ não depende de $ y $, podemos sair com ele da integral:
fX(x)
A integral de $ e^{-3y} $ de 0 a infinito é $ \frac{1}{3} $, então:
f(x, y)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a densidade marginal de $ Y $, que é $ f_Y(y) $. Fazemos o mesmo processo, mas integrando em relação a $ x $:
Y
Novamente, $ 6 e^{-3y} $ não depende de $ x $, então tiramos ele da integral:
fY(y)
A integral de $ e^{-2x} $ de 0 a infinito é $ \frac{1}{2} $, então:
x

Passo 5

Agora que temos as densidades marginais, vamos verificar se a densidade conjunta é igual ao produto delas:
fX(x) cdot fY(y) = 2 e^-2x cdot 3 e^-3y = 6 e^-2x e^-3y
E olha só, isso é exatamente igual à densidade conjunta dada no enunciado:
f(x, y) = 6 e^-2x e^-3y

Resposta

Sim, as variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são independentes.

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