Verifique se as variáveis aleatórias
e
são independentes quando a densidade conjunta delas forem igual a:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se as variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são independentes. A matéria aqui é sobre probabilidade de variáveis aleatórias e, mais especificamente, sobre a independência entre elas. Para resolver isso, vamos precisar entender a densidade conjunta e as densidades marginais das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis serem independentes. Duas variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes se a densidade conjunta $ f(x, y) $ for igual ao produto das densidades marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $. Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar as densidades marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $ e verificar se essa igualdade vale.
Passo 3
Vamos começar encontrando a densidade marginal de $ X $, que é $ f_X(x) $. Para isso, a gente integra a densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
Como $ 6 e^{-2x} $ não depende de $ y $, podemos sair com ele da integral:
A integral de $ e^{-3y} $ de 0 a infinito é $ \frac{1}{3} $, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a densidade marginal de $ Y $, que é $ f_Y(y) $. Fazemos o mesmo processo, mas integrando em relação a $ x $:
Novamente, $ 6 e^{-3y} $ não depende de $ x $, então tiramos ele da integral:
A integral de $ e^{-2x} $ de 0 a infinito é $ \frac{1}{2} $, então:
Passo 5
Agora que temos as densidades marginais, vamos verificar se a densidade conjunta é igual ao produto delas:
E olha só, isso é exatamente igual à densidade conjunta dada no enunciado:
Resposta
Sim, as variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são independentes.