- Se
, sendo
uma função diferenciável tal que
e
, mostre que em
vale a relação
.
Passo 1
O enunciado apresenta a relação implícita
com
diferenciável e, em
, temos
,
e
. Pelo Teorema da Função Implícita, podemos resolver localmente cada uma das variáveis em função das outras duas. O objetivo é calcular
,
e
em
e mostrar que
Passo 2
Primeiro, escrevemos
e diferenciamos
em relação a
, mantendo
constante. Pela regra da cadeia:
Do mesmo modo, para
diferenciamos em relação a
com
constante:
E finalmente, para
diferenciamos em relação a
com
constante:
Passo 3
Agora basta multiplicar as três expressões: