1. Se F(x, y, z)=0, sendo w=F(x, y, z) uma função diferenciável tal que F(P0)=0, Fx(P0) neq 0, Fy(P0) neq 0 e Fz(P0) neq 0, mostre que em P0 vale a relação partial xpartial y partial ypartial z partial zpartial x=-1.

Passo 1

O enunciado apresenta a relação implícita
F(x,y,z)=0
com F diferenciável e, em P0, temos Fxneq0, Fyneq0 e Fzneq0. Pelo Teorema da Função Implícita, podemos resolver localmente cada uma das variáveis em função das outras duas. O objetivo é calcular partial xpartial y, partial ypartial z e partial zpartial x em P0 e mostrar que
partial xpartial y,partial ypartial z,partial zpartial x=-1

Passo 2

Primeiro, escrevemos x=x(y,z) e diferenciamos
Fl(x(y,z),y,zr)=0
em relação a y, mantendo z constante. Pela regra da cadeia:
Fx,partial xpartial y+Fy=0 Longrightarrow partial xpartial y=-FyFx
Do mesmo modo, para y=y(z,x) diferenciamos em relação a z com x constante:
Fxcdot0+Fy,partial ypartial z+Fz=0 Longrightarrow partial ypartial z=-FzFy
E finalmente, para z=z(x,y) diferenciamos em relação a x com y constante:
Fx+Fycdot0+Fz,partial zpartial x=0 Longrightarrow partial zpartial x=-FxFz

Passo 3

Agora basta multiplicar as três expressões:
partial xpartial y;partial ypartial z;partial zpartial x =l(-FyFxr) l(-FzFyr) l(-FxFzr) =(-1)^3=-1

Resposta

partial xpartial y,partial ypartial z,partial zpartial x=-1

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