Use a solução geral de x^prime prime+omega^2 x=0 dada no Problema 7 para mostrar que uma solução satisfazendo as condições x(t0)=x0 e x^prime(t0)=x1 é a solução dada no Problema 7, deslocada por t0 unidades:
x(t)=x0 cos omega(t-t0)+x1omega sen omega(t-t0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado o problema
x'' + omega^2 x = 0,
com condições iniciais
x(t0) = x0, x'(t0) = x1,
a solução é
x(t)=x0cosl(omega(t-t0)r)+x1omegasinl(omega(t-t0)r)
O conteúdo envolve EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes e a invariância por translação temporal.

Passo 2

Do Problema 7 sabemos que, para condições em t=0, a solução geral é
x(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais em t=0.

Passo 3

Como a equação não depende de t explicitamente, podemos “mudar a origem do tempo” definindo
tau = t - t0
Em função de tau a EDO continua
d^2xdtau^2+omega^2x=0
e sua solução geral é
x(tau)=Ccos(omegatau)+Dsin(omegatau)

Passo 4

Voltando à variável t, escrevemos
x(t)=Ccosl(omega(t-t0)r)+Dsinl(omega(t-t0)r)
Impondo x(t0)=x0, temos tau=0 e
x(t0)=Ccos0 + Dsin0 = C = x0

Passo 5

Agora derivamos
x'(t) = -C,omega,sinl(omega(t-t0)r) + D,omega,cosl(omega(t-t0)r),
e em t=t0 (ou seja tau=0) fica
x'(t0) = D,omega = x1 ;;Longrightarrow;; D = x1omega

Resposta

x(t)=x0cosl(omega(t-t0)r) +x1omegasinl(omega(t-t0)r)

Exercícios relacionados