Use a solução geral de
dada no Problema 7 para mostrar que uma solução satisfazendo as condições
e
é a solução dada no Problema 7, deslocada por
unidades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado o problema
com condições iniciais
a solução é
O conteúdo envolve EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes e a invariância por translação temporal.
Passo 2
Do Problema 7 sabemos que, para condições em
, a solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais em
.
Passo 3
Como a equação não depende de
explicitamente, podemos “mudar a origem do tempo” definindo
Em função de
a EDO continua
e sua solução geral é
Passo 4
Voltando à variável
, escrevemos
Impondo
, temos
e
Passo 5
Agora derivamos
e em
(ou seja
) fica