\int\left(3 x^{2}+4 \sqrt{ } x-2 / x\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(3x^{2} \;+\;4\sqrt{x}\;-\;2/x\bigr)\,dx
Isso envolve três termos: um polinômio 3x^2, uma raiz 4\sqrt{x}=4x^{1/2} e uma função racional -2/x=x^{-1}. Vamos usar a linearidade da integral e as regras básicas: para n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1},
e para n=-1,
\int x^{-1}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|.

Passo 2

Separamos a integral em três partes usando linearidade:
\int\bigl(3x^{2}+4x^{1/2}-2x^{-1}\bigr)\,dx =\int 3x^{2}\,dx \;+\;\int 4x^{1/2}\,dx \;-\;\int 2x^{-1}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potências:
- Para 3x^2, temos n=2, então
\int 3x^2\,dx =3\cdot\frac{x^{2+1}}{2+1} =3\cdot\frac{x^3}{3} =x^3.
- Para 4x^{1/2}, temos n=\tfrac12, então
\int 4x^{1/2}\,dx =4\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} =4\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} =4\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2} =\frac{8}{3}\,x^{3/2}.
- Para -2x^{-1}, usamos a regra do log:
\int -2x^{-1}\,dx =-2\int x^{-1}\,dx =-2\,\ln\bigl|x\bigr|.

Passo 4

Somando todas as partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos
x^3 \;+\;\frac{8}{3}\,x^{3/2}\;-\;2\ln\bigl|x\bigr|\;+\;C.

Resposta

x^3 + \frac{8}{3}x^{3/2} - 2\ln\bigl|x\bigr| + C.

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