Se e forem analíticas em um domínio D, o que pode ser dito a respeito de f em todos os pontos em D ?
Passo 1
O exercício diz que tanto f(z) quanto \overline{f(z)} são funções analíticas em um domínio D. O conteúdo aqui é análise complexa, mais especificamente condições de Cauchy–Riemann para funções analíticas e seu conjugado. Vamos usar a decomposição f(z)=u(x,y)+i v(x,y) e ver o que as duas analiticidades implicam.
Passo 2
Para f ser analítica em D, as funções reais u(x,y) e v(x,y) devem satisfazer as equações de Cauchy–Riemann: u_x = v_y e u_y = -v_x.
Passo 3
Como \overline{f(z)} = u(x,y) - i v(x,y) também é analítica em D, suas partes reais e imaginárias satisfazem as equações de Cauchy–Riemann: u_x = -v_y e u_y = v_x.
Passo 4
Comparemos agora as duas versões das equações. Da analiticidade de f temos u_x = v_y e u_y = -v_x; da analiticidade de \overline{f} temos u_x = -v_y e u_y = v_x. Somando as duas para cada derivada, obtemos u_x = 0, u_y = 0, v_x = 0 e v_y = 0 em cada ponto de D.
Passo 5
Como todas as derivadas parciais de u e v são zero, u e v são constantes em D. Logo, f(z)=u+i v é constante em todo o domínio.