O gráfico de f(x)=raizx^2-3 x-x no plano x y tem uma assíntota horizontal de equação y=y0, com y0 constante. Qual é o valor de y0 ?
(a) -3 / 2
© 4 / 5
(e) NDA
(b) 1 / 2
(d) -2 / 5

Passo 1

Resumo do problema: Temos a função f(x)=raizx^2-3x-x. O conteúdo é assíntota horizontal, e vamos precisar calcular limxto+inftyf(x) para encontrar a reta y=y0.

Passo 2

Observamos que para x grande e positivo (domínio relevante para assíntota), podemos reescrever raizx^2-3x fatorando x^2:
raizx^2-3x=x,raiz1-3x

Passo 3

Usamos a expansão binomial para raiz1+t quando t é pequeno: raiz1+tapprox1+tfract2-tfract^28+cdots. Aqui t=-tfrac3x, então
raiz1-3xapprox1-32x-98x^2+cdots

Passo 4

Multiplicando por x e subtraindo x em f(x):
raizx^2-3x=x-32-98x+cdots
$$
f(x)=\bigl(x-\tfrac{3}{2}-\tfrac{9}{8x}+\cdots\bigr)-x=-\frac{3}{2}-\frac{9}{8x}+\cdots$$

Passo 5

Tomando o limite quando xto+infty, o termo -tfrac98x some, ficando
limxto+inftyf(x)=-tfrac32

Resposta

-tfrac32

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