Um restaurante serve, em média, 120 refeições por dia, com um desvio padrão de 20 . Após uma campanha publicitária nos jornais e na TV, os donos do estabelecimento observaram que, em sete dias eles venderam, em média 145 refeições diárias. Suponha que o número de refeições vendidas em um dia qualquer tenha distribuição normal e que a campanha publicitária não alterou o desvio padrão da distribuição. Existe evidência, a um nível de significância de 0,01 , de que a campanha aumentou as vendas?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Informações fornecidas:
- Valor médio antes da campanha:
refeições por dia. - Desvio padrão populacional (assumido inalterado):
. - Amostra após a campanha:
dias. - Média observada na amostra:
refeições por dia. - Nível de significância:
. - Foi assumido que o número de refeições vendidas em um dia tem distribuição normal.
- Valor médio antes da campanha:
-
O que o enunciado pede:
- Verificar, a nível de significância
, se existe evidência de que a campanha publicitária aumentou as vendas diárias médias.
- Verificar, a nível de significância
Passo 2
Formular as hipóteses do teste (em linguagem matemática clara).
- Hipótese nula (suposição inicial, sem efeito da campanha):
- Hipótese alternativa (o que queremos demonstrar: aumento da média):
Isto é um teste unilateral à direita porque a campanha poderia ter aumentado a média (somos interessados apenas em aumento).
Passo 3
Escolher o teste e escrever a estatística de teste com explicação das variáveis.
Como o desvio padrão populacional
é conhecido e a variável diária é assumida normal, usamos o teste-z para a média. A estatística de teste é
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral ( ). -
é a média sob ( ). -
é o desvio padrão populacional conhecido ( ). -
é o tamanho da amostra ( ). - A razão
é o erro padrão da média (quanto varia a média amostral tipicamente).
Passo 4
Calcular a estatística de teste passo a passo (sem pular contas).
Calcular o erro padrão da média:
Estimando
, obtemos
Calcular
:
Numericamente,
Passo 5
Determinar a região de rejeição (valor crítico) e comparar.
Para um teste unilateral à direita com nível de significância
, o valor crítico é o quantil da normal padrão tal que a área à direita é
. Ou seja, o valor crítico é
.
Da tabela da normal padrão temos aproximadamente
Comparando:
Como
cai na região de rejeição (mais extremo que o crítico), rejeitamos
.
Passo 6
Cálculo do valor-p e interpretação em linguagem simples.
O valor-p para um teste unilateral à direita é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Usando
, temos
(aprox.), então
Interpretação: o valor-p é muito menor que
, o que confirma a decisão de rejeitar
. Em linguagem coloquial: a probabilidade de observarmos uma média tão alta quanto
dias, supondo que a verdadeira média fosse
, é cerca de
— muito pequena — então faz sentido concluir que a campanha aumentou as vendas.
Passo 7
Comentários didáticos e cautelas (como explicar esse procedimento na prova).
- Por que usamos o teste-z? Porque o desvio padrão populacional
foi dado e a variável é normal; nesse caso a distribuição da média amostral padronizada é normal padrão. - Se
não fosse conhecido, usar-se-ia o teste-t de Student com graus de liberdade (e aí, com , a aproximação exigiria cuidado por amostra pequena). - O nível de significância
é a probabilidade máxima de erro tipo I (rejeitar quando é verdadeira). Aqui exigimos uma prova forte ( ). - Mesmo com
pequeno, a normalidade assumida no enunciado justifica o uso do teste-z com conhecido. - Resultado prático: efeito grande e estatisticamente significativo. Na prova, escreva claramente hipóteses, estatística, valor crítico/valor-p e conclusão — e mostre as contas do
.
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência, ao nível de significância
, de que a campanha aumentou as vendas (estatística
, valor-p
).