Um restaurante serve, em média, 120 refeições por dia, com um desvio padrão de 20 . Após uma campanha publicitária nos jornais e na TV, os donos do estabelecimento observaram que, em sete dias eles venderam, em média 145 refeições diárias. Suponha que o número de refeições vendidas em um dia qualquer tenha distribuição normal e que a campanha publicitária não alterou o desvio padrão da distribuição. Existe evidência, a um nível de significância de 0,01 , de que a campanha aumentou as vendas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informações fornecidas:
    • Valor médio antes da campanha: \mu_0 = 120 refeições por dia.
    • Desvio padrão populacional (assumido inalterado): \sigma = 20.
    • Amostra após a campanha: n = 7 dias.
    • Média observada na amostra: \bar{X} = 145 refeições por dia.
    • Nível de significância: \alpha = 0,01.
    • Foi assumido que o número de refeições vendidas em um dia tem distribuição normal.
  • O que o enunciado pede:
    • Verificar, a nível de significância \alpha = 0,01, se existe evidência de que a campanha publicitária aumentou as vendas diárias médias.

Passo 2

Formular as hipóteses do teste (em linguagem matemática clara).
  • Hipótese nula (suposição inicial, sem efeito da campanha): H_0:\\ \mu = 120.
  • Hipótese alternativa (o que queremos demonstrar: aumento da média): H_1:\\ \mu > 120.
Isto é um teste unilateral à direita porque a campanha poderia ter aumentado a média (somos interessados apenas em aumento).

Passo 3

Escolher o teste e escrever a estatística de teste com explicação das variáveis.
Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a variável diária é assumida normal, usamos o teste-z para a média. A estatística de teste é
Z \;=\; \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média amostral ( 145).
  • \mu_0 é a média sob H_0 ( 120).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido ( 20).
  • n é o tamanho da amostra ( 7).
  • A razão \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto varia a média amostral tipicamente).

Passo 4

Calcular a estatística de teste passo a passo (sem pular contas).
Calcular o erro padrão da média:
\sigma/\sqrt{n} \;=\; \frac{20}{\sqrt{7}}.
Estimando \sqrt{7}\approx 2,6458, obtemos
\sigma/\sqrt{n} \approx \frac{20}{2,6458}\approx 7,559.
Calcular Z:
Z \;=\; \frac{145-120}{20/\sqrt{7}} \;=\; \frac{25}{20/\sqrt{7}} \;=\; \frac{25\sqrt{7}}{20}.
Numericamente,
Z \approx \frac{25}{7,559}\approx 3,307.

Passo 5

Determinar a região de rejeição (valor crítico) e comparar.
Para um teste unilateral à direita com nível de significância \alpha = 0,01, o valor crítico é o quantil da normal padrão tal que a área à direita é 0,01. Ou seja, o valor crítico é z_{1-\alpha}=z_{0,99}.
Da tabela da normal padrão temos aproximadamente
z_{0,99} \approx 2,3263.
Comparando:
Z_{\text{obs}} \approx 3,307 > 2,3263.
Como Z_{\text{obs}} cai na região de rejeição (mais extremo que o crítico), rejeitamos H_0.

Passo 6

Cálculo do valor-p e interpretação em linguagem simples.
O valor-p para um teste unilateral à direita é
\text{valor-p} = 1 - \Phi(Z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Usando Z_{\text{obs}}\approx 3,307, temos \Phi(3,307)\approx 0,9995 (aprox.), então
\text{valor-p} \approx 1 - 0,9995 \approx 0,0005.
Interpretação: o valor-p é muito menor que \alpha = 0,01, o que confirma a decisão de rejeitar H_0. Em linguagem coloquial: a probabilidade de observarmos uma média tão alta quanto 145 dias, supondo que a verdadeira média fosse 120, é cerca de 0,05\% — muito pequena — então faz sentido concluir que a campanha aumentou as vendas.

Passo 7

Comentários didáticos e cautelas (como explicar esse procedimento na prova).
  • Por que usamos o teste-z? Porque o desvio padrão populacional \sigma foi dado e a variável é normal; nesse caso a distribuição da média amostral padronizada é normal padrão.
  • Se \sigma não fosse conhecido, usar-se-ia o teste-t de Student com n-1 graus de liberdade (e aí, com n=7, a aproximação exigiria cuidado por amostra pequena).
  • O nível de significância \alpha é a probabilidade máxima de erro tipo I (rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira). Aqui exigimos uma prova forte ( \alpha=0,01).
  • Mesmo com n=7 pequeno, a normalidade assumida no enunciado justifica o uso do teste-z com \sigma conhecido.
  • Resultado prático: efeito grande e estatisticamente significativo. Na prova, escreva claramente hipóteses, estatística, valor crítico/valor-p e conclusão — e mostre as contas do Z.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência, ao nível de significância \alpha=0,01, de que a campanha aumentou as vendas (estatística Z\approx 3,307, valor-p \approx 0,0005).

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