Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros a cada 100 km , com desvio padrão de 0,8 litro. Uma revista decide testar essa afirmação e analisa 35 carros dessa marca, obtendo 11,4 litros/ 100 km , como consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao nível de 10 \%, a revista conclui que deve rejeitar H 0 . Qual o valor de \mathrm{z} \_calc?
◯ 1,96
-1,96
◯ 3,96
-2,96
◯ 2,96

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Reivindicação da fábrica (valor sob hipótese nula): \mu_0=11 litros/100 km.
    • Desvio padrão populacional: \sigma=0{,}8 litro.
    • Tamanho da amostra: n=35.
    • Média amostral observada: \bar{X}=11{,}4 litros/100 km.
    • Nível de significância: \alpha=0{,}10.
  • O enunciado pergunta: qual é o valor de z_{\text{calc}} (o valor estatístico calculado) usado no teste?

Passo 2

Qual teste usar e a fórmula do estatístico.
Quando a variância (ou desvio padrão) populacional é conhecida e queremos testar a média, usamos o teste-z. O estatístico é dado por
z_{\text{calc}}=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média da amostra (aqui \bar{X}=11{,}4).
  • \mu_0 é o valor da média sob H_0 (aqui \mu_0=11).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=0{,}8).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=35).
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (ou desvio padrão da distribuição amostral de \bar{X}).

Passo 3

Calcular o erro padrão \sigma/\sqrt{n}.
Primeiro calculo \sqrt{n}=\sqrt{35}. Aproximação:
\sqrt{35}\approx 5{,}91608.
Então
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}8}{5{,}91608}\approx 0{,}13526.

Passo 4

Calcular o numerador \bar{X}-\mu_0 e o z_{\text{calc}}.
O numerador é
\bar{X}-\mu_0=11{,}4-11=0{,}4.
Agora o estatístico:
z_{\text{calc}}=\frac{0{,}4}{0{,}13526}\approx 2{,}957\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
z_{\text{calc}}\approx 2{,}96.

Passo 5

Interpretação curta (só para confirmar consistência com a conclusão do enunciado).
Como o valor absoluto |z_{\text{calc}}|\approx 2{,}96 é maior que o valor crítico para um teste bilateral com \alpha=0{,}10 (que é z_{0{,}95}\approx 1{,}645), a revista tem razão em rejeitar H_0. O sinal positivo indica que a média observada é maior que a reivindicada.

Resposta

2{,}96

Exercícios relacionados