Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média,
litros por 100 quilômetros, com desvio padrão
. Uma revista desconfia que o consumo é maior e resolve verificar essas afirmações. Para tal, analisou 35 automóveis dessa marca, obtendo consumo médio de 10,2.
(21.2) Para
, qual o valor de
tal que leve à rejeição de
?
(21.2) Para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses. A situação é que uma fábrica diz que seus carros consomem, em média,
litros por 100 quilômetros, com desvio padrão
. Uma revista suspeita que esse consumo é maior e decide investigar. Ela analisou 35 carros e encontrou um consumo médio de 10,2 litros. A pergunta é: Para um nível de significância de
, qual o valor de
que faz a gente rejeitar a hipótese nula
?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um teste de hipóteses. Aqui, a hipótese nula (
) é que a média do consumo é igual a
, e a hipótese alternativa (
) é que a média é maior que
. A gente quer encontrar o valor de
que, se verdadeira, a média observada de 10,2 litros nos leva a rejeitar
com uma probabilidade de erro máxima de 10%.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal e calcular o valor crítico correspondente ao nível de significância
. Esse valor crítico nos dirá o quanto a média amostral precisa ser maior que
para que a gente rejeite
.
Passo 4
O valor crítico (
) para
na distribuição normal padrão é aproximadamente 1,2816. Isso significa que, se a diferença entre a média amostral e
for maior que
desvios padrão, a gente rejeita
.
Passo 5
A fórmula que relaciona tudo isso é:
Queremos que esse
seja igual ao valor crítico
:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
. Primeiro, calculamos
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 0,203:
Passo 8
Isolando
:
Resposta
O valor de
que leva à rejeição de
para
é aproximadamente 9,94 litros.