Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, mu litros por 100 quilômetros, com desvio padrão sigma=1,2. Uma revista desconfia que o consumo é maior e resolve verificar essas afirmações. Para tal, analisou 35 automóveis dessa marca, obtendo consumo médio de 10,2.
(21.2) Para alpha=0,10, qual o valor de mu0 tal que leve à rejeição de H0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses. A situação é que uma fábrica diz que seus carros consomem, em média, mu litros por 100 quilômetros, com desvio padrão sigma = 1,2. Uma revista suspeita que esse consumo é maior e decide investigar. Ela analisou 35 carros e encontrou um consumo médio de 10,2 litros. A pergunta é: Para um nível de significância de alpha = 0,10, qual o valor de mu0 que faz a gente rejeitar a hipótese nula H0?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um teste de hipóteses. Aqui, a hipótese nula ( H0) é que a média do consumo é igual a mu0, e a hipótese alternativa ( H1) é que a média é maior que mu0. A gente quer encontrar o valor de mu0 que, se verdadeira, a média observada de 10,2 litros nos leva a rejeitar H0 com uma probabilidade de erro máxima de 10%.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal e calcular o valor crítico correspondente ao nível de significância alpha = 0,10. Esse valor crítico nos dirá o quanto a média amostral precisa ser maior que mu0 para que a gente rejeite H0.

Passo 4

O valor crítico ( zalpha) para alpha = 0,10 na distribuição normal padrão é aproximadamente 1,2816. Isso significa que, se a diferença entre a média amostral e mu0 for maior que 1,2816 desvios padrão, a gente rejeita H0.

Passo 5

A fórmula que relaciona tudo isso é:
z = barx - mu0sigmaraizn
Queremos que esse z seja igual ao valor crítico zalpha:
1,2816 = 10,2 - mu01,2raiz35

Passo 6

Vamos resolver a equação para mu0. Primeiro, calculamos 1,2raiz35:
1,2raiz35 approx 1,25,9161 approx 0,203

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
1,2816 = 10,2 - mu00,203
Multiplicando ambos os lados por 0,203:
10,2 - mu0 = 1,2816 times 0,203 approx 0,26

Passo 8

Isolando mu0:
mu0 = 10,2 - 0,26 approx 9,94

Resposta

O valor de mu0 que leva à rejeição de H0 para alpha = 0,10 é aproximadamente 9,94 litros.

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