Uma máquina deve produzir peças de diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações para mais ou para menos podem acontecer. Uma amostra de 40 peças revelou média de 2,1 cm e desvio padrão 0,3 cm. Testar se há evidências significativas de que o diâmetro médio seja diferente de 2 cm.
(22.4) Qual a decisão? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma máquina que deveria fazer peças com diâmetro de 2 cm, mas pode ter variações. Pegamos uma amostra de 40 peças e a média foi 2,1 cm, com desvio padrão de 0,3 cm. A gente vai usar teste de hipótese para ver se essa média diferente de 2 cm é significativa ou só aconteceu por acaso. Para isso, vamos precisar entender o que é um teste de hipótese e como calcular o valor do teste.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): O diâmetro médio é igual a 2 cm, ou seja, μ = 2.
  • Hipótese Alternativa (H₁): O diâmetro médio é diferente de 2 cm, ou seja, μ ≠ 2.

Passo 3

Como o tamanho da amostra é 40, que é maior que 30, podemos usar o teste z. A fórmula para o teste z é:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • é a média da amostra (2,1 cm),
  • é a média hipotética (2 cm),
  • é o desvio padrão (0,3 cm),
  • é o tamanho da amostra (40).

Passo 4

Vamos calcular o valor de z:
z = 2,1 - 20,3raiz40 = 0,10,0474 approx 2,11

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de z para um teste bilateral com nível de significância de 5% (α = 0,05). Os valores críticos são aproximadamente -1,96 e +1,96.

Passo 6

Comparando o z calculado (2,11) com os valores críticos:
  • 2,11 > 1,96
Como o z calculado está fora do intervalo entre -1,96 e +1,96, a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

Temos evidências significativas para concluir que o diâmetro médio das peças é diferente de 2 cm.

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