Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 8 litros para cada 120 Km rodados. A revista “Pit Stop”, especializada em automóveis, resolve testar essa afirmação e analisou 27 veículos, obtendo 7,68 litros para cada 120 km rodados, com uma variância amostral de 0,48 .
(se necessário use \alpha=0,05 )
a) Defina as hipóteses para o problema considerando o teste unilateral.
b) Interprete o erro tipo I e erro tipo I I para as hipóteses definidas em (a)
c) O que você conclui a respeito da afirmação do fabricante?
d) Encontre o valor p do teste.
e) Calcule a probabilidade de erro tipo I I se a verdadeira média for \mu=7,53.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese unilateral para a média de consumo \mu (litros por 120 km). Temos n=27, média amostral \bar x=7,68, variância amostral s^2=0,48 e nível de significância \alpha=0,05. Para resolver, usaremos o teste t de Student para uma amostra, jäm como as definições de erros tipo I e II e o cálculo do p-valor.

Passo 2

Definimos as hipóteses:
H_0: \mu = 8
H_1: \mu < 8
É unilateral à esquerda, pois se quer testar se o consumo real é menor que o anunciado.

Passo 3

Interpretação de erros:
  • Erro tipo I (falsamente rejeitar H_0): concluir que \mu<8 quando na verdade \mu=8.
  • Erro tipo II (falsamente não rejeitar H_0): concluir que não há evidência contra \mu=8 quando na verdade \mu<8.

Passo 4

Calculamos o estatístico de teste
t_{\rm obs} = \frac{\bar x - 8}{\sqrt{s^2/n}} = \frac{7,68 - 8}{\sqrt{0,48/27}} = \frac{-0,32}{\sqrt{0,01778}} \approx \frac{-0,32}{0,1333} \approx -2,40.
O valor crítico em t_{n-1} com 26 graus de liberdade é
t_{0,05;\,26} \approx -1,705.
Como t_{\rm obs}=-2,40 < -1,705, rejeitamos H_0.

Passo 5

Conclusão à luz do teste: há evidência estatística em nível \alpha=0,05 de que a média real de consumo é menor que 8 L/120 km. Ou seja, o fabricante superestimou o consumo — os carros são mais econômicos do que ele anunciava.

Passo 6

O p-valor é
p = P\bigl(T_{26}< -2,40\bigr)\approx 0,011.

Passo 7

Para calcular a probabilidade de erro tipo II quando \mu=7,53, achamos primeiro a fronteira de não rejeição em termos de \bar x:
\frac{\bar x - 8}{\sqrt{0,48/27}} \ge -1,705 \\ \Longrightarrow\\ \bar x \ge 8 + (-1,705)\sqrt{\tfrac{0,48}{27}} \approx 8 - 0,227 = 7,773.
Sob \mu=7,53 e assumindo normal aproximada,
\beta = P\bigl(\bar x \ge 7,773 \mid \mu=7,53\bigr) = P\!\Bigl(Z \ge \frac{7,773-7,53}{0,1333}\Bigr) = P(Z \ge 1,843) \approx 0,033.

Resposta

a)
H_0:\mu=8, \quad H_1:\mu<8.
b)
Erro tipo I: rejeitar H_0 quando \mu=8.
Erro tipo II: não rejeitar H_0 quando \mu<8.
c) Rejeita-se H_0; conclui-se que o consumo médio é menor que 8 L/120 km.
d) p\approx0,011.
e) \beta\approx0,033.

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