Uma indústria farmacêutica estuda uma modificação na espécie V T C+ para a produção de ácido ascórbico. Num experimento com 16 plantas, obteve as seguintes quantidades em \mathrm{mg} / amostra:
9,35 8,68 8,65 11,68 10,29 12,77 10,99 8,81
10,76 9,52 10,55 12,61 10,43 9,87 12,04 9,82
Sabendo que a vitamina C é produzida regularmente a partir da espécie V T C, com um rendimento médio de 9,75 \mathrm{mg} / amostra,
a) Formule uma hipótese adequada e faça para o teste.
b) Calcule o valor p.
c) Se você fosse o estatístico da empresa, recomendaria a substituição da planta V T C pela V T C+ ?
Obs: considere que o custo de produção não é afetado.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=16 das quantidades de vitamina C produzida pela planta modificada VTC+, com valores (em mg):
9,35,\;8,68,\;8,65,\;11,68,\;10,29,\;12,77,\;10,99,\;8,81, \;10,76,\;9,52,\;10,55,\;12,61,\;10,43,\;9,87,\;12,04,\;9,82.
Sabemos que, para a planta regular VTC, o rendimento médio é \mu_0=9{,}75 mg/amostra.
Conteúdo: teste de hipótese para a média de uma população normal com variância desconhecida (teste t de Student).

Passo 2

Definimos as hipóteses com foco em um aumento de rendimento:
H_0\colon \mu = 9{,}75,
H_1\colon \mu > 9{,}75.
Como a variância populacional é desconhecida, usamos o estatístico
t \;=\;\frac{\bar x - \mu_0}{s / \sqrt{n}},
que, sob H_0, segue a t de Student com n-1=15 graus de liberdade.

Passo 3

Calculamos a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s:
\bar x = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} x_i = \frac{166{,}82}{16} = 10{,}42625\;\text{mg},
s^2 = \frac{1}{15}\Bigl(\sum x_i^2 - 16\,\bar x^{2}\Bigr) \approx 1{,}7516, \quad s\approx 1{,}3234\;\text{mg}.

Passo 4

O valor do estatístico t é
t = \frac{10{,}42625 - 9{,}75}{1{,}3234 / \sqrt{16}} = \frac{0{,}67625}{0{,}33085} \approx 2{,}044.

Passo 5

Para um teste unilateral à direita com t=2{,}044 e 15 g.l., o valor- p é
p = P\bigl(T_{15}>2{,}044\bigr)\approx 0{,}03.

Passo 6

Como p\approx0{,}03<0{,}05, rejeitamos H_0 ao nível de 5 % e concluímos que há evidência de que a planta VTC+ produz mais vitamina C que a VTC.

Resposta

(a) H_0\colon \mu=9{,}75 versus H_1\colon \mu>9{,}75, usando teste t de Student.
(b) p\approx0{,}03.
(c) Sim, recomendaria substituir VTC por VTC+, pois há evidência estatística de ganho de rendimento.

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