A gerente de uma filial (Loja 1) de uma grande cadeia nacional de lojas de artigos para animais domésticos deseja estudar características dos clientes de sua loja. Em particular, ela decide se concentrar em duas variáveis: a quantia, em dinheiro, gasta pelos clientes, e a hipótese de os clientes possuírem somente um cachorro, somente um gato, ou mais de um cachorro e/ou gato. Os resultados de amostra de 70 clientes são as seguintes:
  • Quantia, em dinheiro, gasta: média amostral igual a \( 21,34\)e desvio-padrão amostral de 9,22.
  • 37 clientes possuem somente um cachorro.
  • 26 clientes possuem somente um gato.
  • 7 clientes possuem mais de um cachorro e/ou gato.
Construa uma estimativa para o intervalo de confiança de 95 % da média aritmética da população relativa à quantia gasta na loja de artigos para animais domésticos.
(Resp: 19,14 \leq \mu \leq 23,54 )

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma amostra de n = 70 clientes, com média amostral \bar x = 21{,}34 e desvio-padrão amostral s = 9{,}22. O que se pede é um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu da quantia gasta.

Passo 2

Como o desvio-padrão populacional é desconhecido, usamos a distribuição de Student com n-1=69 graus de liberdade para construir o intervalo de confiança para \mu.

Passo 3

O quantil crítico correspondente a 95\% de confiança é t_{0{,}975,69}. Consultando uma tabela ou software, obtemos aproximadamente
t_{0{,}975,69}\approx1{,}995.

Passo 4

Calculemos o erro-padrão da média e a margem de erro. O erro-padrão é
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{9{,}22}{\sqrt{70}}\approx1{,}10.
A margem de erro é
m = t_{0{,}975,69}\times\mathrm{SE}\approx1{,}995\times1{,}10\approx2{,}20.

Passo 5

O intervalo de confiança de 95\% para \mu fica
\bar x \pm m \quad\Longrightarrow\quad 21{,}34 \pm 2{,}20,
isto é,
19{,}14 \le \mu \le 23{,}54.

Resposta

19{,}14 \leq \mu \leq 23{,}54

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