De uma população normal com média e variância desconhecidas, extrai-se uma amostra de tamanho 15 obtendo-se \bar{X}=12 e S^{2}=49. Obtenha um intervalo de confiança para a verdadeira média populacional, utilizando o nível de confiança de 95 %.
(Resp: 8, 1179 \leq \mu \leq \mathbf{1 5 , 8 8 2 1} )

Passo 1

O enunciado diz que de uma população normal, com média e variância desconhecidas, extraímos uma amostra de tamanho n=15 e obtemos \bar{X}=12 e S^{2}=49. O conteúdo aqui é intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida, logo vamos precisar da distribuição de Student- t e do desvio padrão amostral.

Passo 2

Primeiro calculamos o desvio padrão amostral e o erro-padrão de \bar{X}.
S = \sqrt{49} = 7,
\text{erro-padrão} = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{7}{\sqrt{15}} \approx 1{,}807.ã

Passo 3

Para um nível de confiança de 95\% temos \alpha=0{,}05 e graus de liberdade n-1=14. O valor crítico da distribuição t é
t_{1-\frac{\alpha}{2},\,14} = t_{0{,}975,\,14} \approx 2{,}1448.

Passo 4

O intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar{X} \pm t_{0{,}975,14}\,\times\,\frac{S}{\sqrt{n}}
Substituindo os valores:
12 \pm 2{,}1448 \times 1{,}807 \;\Longrightarrow\; 12 \pm 3{,}8821
Isso gera os limites
12 - 3{,}8821 \approx 8{,}1179 \quad\text{e}\quad 12 + 3{,}8821 \approx 15{,}8821.

Resposta

8,1179 \leq \mu \leq 15,8821

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