Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
e variância
(isto é,
, calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
h. Abaixo de
ou acima de
.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
h. Abaixo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o processo de encher sacos com ração numa fábrica, onde a média de peso dos sacos é de 50 kg. No entanto, nem todos os sacos ficam exatamente com esse peso devido a variações naturais no processo. A questão envolve probabilidades e utiliza a distribuição normal. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a distribuição normal e utilizar o conceito de pontuação z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Média (
) = 50 kg - Variância (
) = 0,25 kg²
A variância nos dá o quadrado do desvio padrão (
). Então, vamos calcular o desvio padrão:
Passo 3
A distribuição normal é simétrica e nos ajuda a calcular a probabilidade de um valor estar dentro ou fora de certos limites. Nesse caso, queremos saber a probabilidade de um saco ter menos de 48,5 kg ou mais de 51,5 kg. Isso é representado como:
Passo 4
Para encontrar essa probabilidade, vamos converter esses valores para a escala padrão, usando o z-score, que é:
Vamos calcular o z-score para 48,5 kg e para 51,5 kg.
Para 48,5 kg:
Para 51,5 kg:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses z-scores na tabela da distribuição normal padrão.
- P(Z < -3): A probabilidade de Z ser menor que -3.
- P(Z > 3): A probabilidade de Z ser maior que 3.
Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
Consultando a tabela, temos:
Passo 6
Como as duas probabilidades são iguais, somamos elas para obter a probabilidade total de um saco ter menos de 48,5 kg ou mais de 51,5 kg:
Resposta
A probabilidade de que um saco selecionado aleatoriamente contenha abaixo de 48,5 kg ou acima de 51,5 kg é de 0,27%.