Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
h. Abaixo de 48,5 kg ou acima de 51,5 kg.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o processo de encher sacos com ração numa fábrica, onde a média de peso dos sacos é de 50 kg. No entanto, nem todos os sacos ficam exatamente com esse peso devido a variações naturais no processo. A questão envolve probabilidades e utiliza a distribuição normal. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a distribuição normal e utilizar o conceito de pontuação z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Média ( mu) = 50 kg
  • Variância ( sigma^2) = 0,25 kg²
A variância nos dá o quadrado do desvio padrão ( sigma). Então, vamos calcular o desvio padrão:
sigma = raiz0,25 = 0,5 , kg

Passo 3

A distribuição normal é simétrica e nos ajuda a calcular a probabilidade de um valor estar dentro ou fora de certos limites. Nesse caso, queremos saber a probabilidade de um saco ter menos de 48,5 kg ou mais de 51,5 kg. Isso é representado como:
P(X < 48,5 , kg , ou , X > 51,5 , kg)

Passo 4

Para encontrar essa probabilidade, vamos converter esses valores para a escala padrão, usando o z-score, que é:
z = X - musigma
Vamos calcular o z-score para 48,5 kg e para 51,5 kg.
Para 48,5 kg:
z1 = 48,5 - 500,5 = -1,50,5 = -3
Para 51,5 kg:
z2 = 51,5 - 500,5 = 1,50,5 = 3

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses z-scores na tabela da distribuição normal padrão.
  • P(Z < -3): A probabilidade de Z ser menor que -3.
  • P(Z > 3): A probabilidade de Z ser maior que 3.
Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
P(Z < -3) = P(Z > 3)
Consultando a tabela, temos:
P(Z > 3) approx 0,00135

Passo 6

Como as duas probabilidades são iguais, somamos elas para obter a probabilidade total de um saco ter menos de 48,5 kg ou mais de 51,5 kg:
P(X < 48,5 , kg , ou , X > 51,5 , kg) = P(Z < -3) + P(Z > 3) = 0,00135 + 0,00135 = 0,0027

Resposta

A probabilidade de que um saco selecionado aleatoriamente contenha abaixo de 48,5 kg ou acima de 51,5 kg é de 0,27%.

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