Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
e variância
(isto é,
, calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
i. Em 1000 sacos saídos desta unidade de ensacamento, quantos serão esperados com o peso entre
e
?
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
i. Em 1000 sacos saídos desta unidade de ensacamento, quantos serão esperados com o peso entre
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que enche sacos com, em média, 50 kg de ração. Porém, nem todos os sacos têm exatamente esse peso devido a variações no processo. A distribuição dos pesos segue uma distribuição normal com média (
) de 50 kg e variância (
) de 0,25 kg². O que precisamos descobrir é quantos sacos, de um total de 1000 produzidos, terão um peso entre 49,5 kg e 51,5 kg.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma distribuição normal com esses parâmetros. A média (
) nos diz o peso médio dos sacos, e a variância (
) nos dá uma ideia de como os pesos estão distribuídos em torno dessa média. A raiz quadrada da variância é o desvio padrão (
), que nesse caso é
.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de um saco ter um peso entre 49,5 kg e 51,5 kg. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore z:
Onde:
-
é o valor que queremos padronizar, -
é a média, -
é o desvio padrão.
Vamos calcular os valores z para 49,5 kg e 51,5 kg.
Passo 4
Calculando o z para 49,5 kg:
E para 51,5 kg:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
estar entre -1 e 3 na tabela da distribuição normal padrão.
Então, a probabilidade de um saco ter peso entre 49,5 kg e 51,5 kg é:
Passo 6
Agora que temos a probabilidade, vamos calcular quantos sacos, de 1000 produzidos, esperamos que estejam nesse intervalo de peso:
Resposta
Em 1000 sacos produzidos, espera-se que 840 sacos tenham peso entre 49,5 kg e 51,5 kg.