Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
i. Em 1000 sacos saídos desta unidade de ensacamento, quantos serão esperados com o peso entre 49,5 kg e 51,5 kg ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que enche sacos com, em média, 50 kg de ração. Porém, nem todos os sacos têm exatamente esse peso devido a variações no processo. A distribuição dos pesos segue uma distribuição normal com média ( mu) de 50 kg e variância ( sigma^2) de 0,25 kg². O que precisamos descobrir é quantos sacos, de um total de 1000 produzidos, terão um peso entre 49,5 kg e 51,5 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma distribuição normal com esses parâmetros. A média ( mu = 50 , kg) nos diz o peso médio dos sacos, e a variância ( sigma^2 = 0,25 , kg^2) nos dá uma ideia de como os pesos estão distribuídos em torno dessa média. A raiz quadrada da variância é o desvio padrão ( sigma), que nesse caso é raiz0,25 = 0,5 , kg.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de um saco ter um peso entre 49,5 kg e 51,5 kg. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que queremos padronizar,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão.
Vamos calcular os valores z para 49,5 kg e 51,5 kg.

Passo 4

Calculando o z para 49,5 kg:
z1 = 49,5 - 500,5 = -0,50,5 = -1
E para 51,5 kg:
z2 = 51,5 - 500,5 = 1,50,5 = 3

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z estar entre -1 e 3 na tabela da distribuição normal padrão.
  • P(Z <= 3) approx 0,9987
  • P(Z <= -1) approx 0,1587
Então, a probabilidade de um saco ter peso entre 49,5 kg e 51,5 kg é:
P(49,5 <= X <= 51,5) = P(-1 <= Z <= 3) = P(Z <= 3) - P(Z <= -1) = 0,9987 - 0,1587 = 0,8400

Passo 6

Agora que temos a probabilidade, vamos calcular quantos sacos, de 1000 produzidos, esperamos que estejam nesse intervalo de peso:
Número esperado = 0,8400 times 1000 = 840 ú

Resposta

Em 1000 sacos produzidos, espera-se que 840 sacos tenham peso entre 49,5 kg e 51,5 kg.

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