Uma máquina produz peças das quais
são consideradas perfeitas e 20% defeituosas.
a) Qual a probabilidade de a
peça ser a
a apresentar defeito?
b) Qual a probabilidade de que a
peça sorteada seja a
a apresentar defeito.
a) Qual a probabilidade de a
b) Qual a probabilidade de que a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de probabilidade envolvendo peças produzidas por uma máquina. Sabemos que 80% das peças são perfeitas e 20% são defeituosas. A gente vai calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de a 5ª peça ser a primeira com defeito.
b) A probabilidade de a 10ª peça ser a segunda com defeito.
a) A probabilidade de a 5ª peça ser a primeira com defeito.
b) A probabilidade de a 10ª peça ser a segunda com defeito.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, como a distribuição geométrica e a binomial.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte:
a) Qual a probabilidade de a 5ª peça ser a 1ª a apresentar defeito?
Aqui, queremos que as primeiras 4 peças sejam perfeitas e que a 5ª seja a primeira defeituosa.
Passo 3
A probabilidade de uma peça ser perfeita é 0,8 (80%) e defeituosa é 0,2 (20%).
Como queremos que as primeiras 4 sejam perfeitas, multiplicamos a probabilidade de cada uma delas ser perfeita:
$ 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,8^4 $
$ 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,8^4 $
E a 5ª peça precisa ser defeituosa, então multiplicamos por 0,2:
$ 0,8^4 \times 0,2 $
$ 0,8^4 \times 0,2 $
Passo 4
Calculando:
$ 0,8^4 = 0,4096 $
Multiplicando por 0,2:
$ 0,4096 \times 0,2 = 0,08192 $
$ 0,8^4 = 0,4096 $
Multiplicando por 0,2:
$ 0,4096 \times 0,2 = 0,08192 $
Então, a probabilidade de a 5ª peça ser a primeira defeituosa é de aproximadamente 8,19%.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte:
b) Qual a probabilidade de que a 10ª peça sorteada seja a 2ª a apresentar defeito?
Aqui, queremos que exatamente uma das primeiras 9 peças seja defeituosa, e que a 10ª também seja defeituosa.
Passo 6
Primeiro, calculamos a probabilidade de exatamente uma peça defeituosa nas primeiras 9. Isso segue a distribuição binomial, onde:
- Número de tentativas $ n = 9 $
- Número de sucessos desejados $ k = 1 $
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa $ p = 0,2 $
A fórmula da binomial é:
$ P(k) = C(n,k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} $
onde $ C(n,k) $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.
$ P(k) = C(n,k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} $
onde $ C(n,k) $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.
Passo 7
Aplicando os valores:
$ C(9,1) = 9 $
Então:
$ P(1) = 9 \times 0,2^1 \times 0,8^8 $
$ C(9,1) = 9 $
Então:
$ P(1) = 9 \times 0,2^1 \times 0,8^8 $
Calculando:
$ 0,2^1 = 0,2 $
$ 0,8^8 ≈ 0,16777 $
Multiplicando:
$ 9 \times 0,2 \times 0,16777 ≈ 0,302 $ ou 30,2%
$ 0,2^1 = 0,2 $
$ 0,8^8 ≈ 0,16777 $
Multiplicando:
$ 9 \times 0,2 \times 0,16777 ≈ 0,302 $ ou 30,2%
Passo 8
Agora, a 10ª peça precisa também ser defeituosa, com probabilidade de 0,2.
Multiplicamos a probabilidade das primeiras 9 com exatamente uma defeituosa pela probabilidade da 10ª ser defeituosa:
$ 0,302 \times 0,2 = 0,0604 $
$ 0,302 \times 0,2 = 0,0604 $
Resposta
a) A probabilidade de a 5ª peça ser a primeira a apresentar defeito é de aproximadamente 8,19%.
b) A probabilidade de a 10ª peça ser a segunda a apresentar defeito é de aproximadamente 6,04%.