Uma máquina produz peças das quais 80 % são consideradas perfeitas e 20% defeituosas.
a) Qual a probabilidade de a 5^a peça ser a 1^a a apresentar defeito?
b) Qual a probabilidade de que a 10^a peça sorteada seja a 2^a a apresentar defeito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de probabilidade envolvendo peças produzidas por uma máquina. Sabemos que 80% das peças são perfeitas e 20% são defeituosas. A gente vai calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de a 5ª peça ser a primeira com defeito.
b) A probabilidade de a 10ª peça ser a segunda com defeito.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, como a distribuição geométrica e a binomial.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte:
a) Qual a probabilidade de a 5ª peça ser a 1ª a apresentar defeito?
Aqui, queremos que as primeiras 4 peças sejam perfeitas e que a 5ª seja a primeira defeituosa.

Passo 3

A probabilidade de uma peça ser perfeita é 0,8 (80%) e defeituosa é 0,2 (20%).
Como queremos que as primeiras 4 sejam perfeitas, multiplicamos a probabilidade de cada uma delas ser perfeita:
$ 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,8^4 $
E a 5ª peça precisa ser defeituosa, então multiplicamos por 0,2:
$ 0,8^4 \times 0,2 $

Passo 4

Calculando:
$ 0,8^4 = 0,4096 $
Multiplicando por 0,2:
$ 0,4096 \times 0,2 = 0,08192 $
Então, a probabilidade de a 5ª peça ser a primeira defeituosa é de aproximadamente 8,19%.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte:
b) Qual a probabilidade de que a 10ª peça sorteada seja a 2ª a apresentar defeito?
Aqui, queremos que exatamente uma das primeiras 9 peças seja defeituosa, e que a 10ª também seja defeituosa.

Passo 6

Primeiro, calculamos a probabilidade de exatamente uma peça defeituosa nas primeiras 9. Isso segue a distribuição binomial, onde:
  • Número de tentativas $ n = 9 $
  • Número de sucessos desejados $ k = 1 $
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa $ p = 0,2 $
A fórmula da binomial é:
$ P(k) = C(n,k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} $
onde $ C(n,k) $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.

Passo 7

Aplicando os valores:
$ C(9,1) = 9 $
Então:
$ P(1) = 9 \times 0,2^1 \times 0,8^8 $
Calculando:
$ 0,2^1 = 0,2 $
$ 0,8^8 ≈ 0,16777 $
Multiplicando:
$ 9 \times 0,2 \times 0,16777 ≈ 0,302 $ ou 30,2%

Passo 8

Agora, a 10ª peça precisa também ser defeituosa, com probabilidade de 0,2.
Multiplicamos a probabilidade das primeiras 9 com exatamente uma defeituosa pela probabilidade da 10ª ser defeituosa:
$ 0,302 \times 0,2 = 0,0604 $

Resposta

a) A probabilidade de a 5ª peça ser a primeira a apresentar defeito é de aproximadamente 8,19%.
b) A probabilidade de a 10ª peça ser a segunda a apresentar defeito é de aproximadamente 6,04%.

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