Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros (segue distribuição Normal): 10, 11, 11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14, 14,14,14,15,15,15,16,16.
(a) Estimar a média e a variância.
(b) Construir um intervalo de confiança para a média, com \gamma=99 \%
(c) Construir um intervalo de confiança para a variância sendo \gamma=99 \%.
\begin{array}{r} \text { R. } \left.a) \bar{x}=13,1333 \text { e } s^{2}=2,0506 . b\right) I C(\mu, 99 \%)=13,1333 \pm 0,7205= \\ [12,4128 ; 13,8538], c) I C\left(\sigma^{2}, 99 \%\right)=[1,1362 ; 4,5326] . \end{array}

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de diâmetros (pressupõe-se distribuição Normal) e pede:
(a) estimar a média e a variância da população a partir da amostra;
(b) construir um intervalo de confiança de 99\% para a média;
(c) construir um intervalo de confiança de 99\% para a variância.
A amostra, reorganizada por valores e suas frequências (leitura do enunciado), é: uma observação igual a 10; três observações iguais a 11; quatro observações iguais a 12; doze observações iguais a 13; cinco observações iguais a 14; três observações iguais a 15; duas observações iguais a 16. Portanto os dados têm tamanho total n=30. Vou usar esses números para calcular média, variância e os intervalos pedidos.

Passo 2

Estimando a média amostral \bar{x}.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações e x_i são os valores da amostra. Aqui é mais prático somar por classes (valor × frequência). Cálculo das somas:
\sum x_i = 10\cdot1 + 11\cdot3 + 12\cdot4 + 13\cdot12 + 14\cdot5 + 15\cdot3 + 16\cdot2 = 394.
Como n=30, tem-se
\bar{x}=\frac{394}{30}=13{,}1333\\ (\text{aprox.}).
Explicação curta: a média é o “centro de massa” dos valores; dividimos a soma total pelo número de observações.

Passo 3

Estimando a variância amostral s^2 (estimador não viciado).
Fórmula da variância amostral (não viciada):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Uma forma prática de calcular usa as somas de quadrados:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}-\frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^{2}}{n}\Big).
Calculamos \sum x_i^{2} por classes:
\sum x_i^{2}=10^{2}\cdot1 + 11^{2}\cdot3 + 12^{2}\cdot4 + 13^{2}\cdot12 + 14^{2}\cdot5 + 15^{2}\cdot3 + 16^{2}\cdot2 = 5234.
Agora apliquei a fórmula:
s^{2}=\frac{1}{30-1}\Big(5234-\frac{394^{2}}{30}\Big)=\frac{1}{29}\cdot59{,}466667\approx2{,}0506.
Também é útil a raiz (desvio padrão amostral):
s=\sqrt{2{,}0506}\approx1{,}4322.
Breve explicação: dividimos por n-1 (e não por n) para obter um estimador imparcial da variância populacional quando usamos a média amostral.

Passo 4

Construindo o intervalo de confiança de 99\% para a média (variância desconhecida).
Hipóteses e suposições: como a amostra vem de uma população Normal e a variância é desconhecida, usamos a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A fórmula do intervalo de confiança é
I C(\mu,\;1-\alpha)=\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da t com n-1 graus de liberdade. Aqui \gamma=99\% então \alpha=0{,}01 e \alpha/2=0{,}005. Para n-1=29 consultas a uma tabela de t dão
t_{0{,}995,\;29}\approx2{,}756.
Calculamos o erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}4322}{\sqrt{30}}\approx0{,}2615.
Margem de erro:
E=t_{0{,}995,29}\cdot\text{SE}\approx2{,}756\cdot0{,}2615\approx0{,}7205.
Portanto o intervalo é
\bar{x}\pm E \Rightarrow 13{,}1333\pm0{,}7205,
ou explicitamente
I C(\mu,99\%)=[12{,}4128\;;\;13{,}8538].
Explicação curta: usamos t porque a variância é desconhecida; quanto maior o nível de confiança, maior o fator t e, portanto, maior a margem.

Passo 5

Construindo o intervalo de confiança de 99\% para a variância \sigma^{2}.
Quando a população é Normal, a estatística
\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}
tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. O intervalo de confiança (1-\alpha) para \sigma^{2} é dado por
\left[\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;n-1}}\;,\;\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;n-1}}\right],
onde \chi^{2}_{p,\nu} é o quantil p da distribuição qui-quadrado com \nu graus de liberdade. Aqui \alpha=0{,}01, \alpha/2=0{,}005 e \nu=29. Consultando tabelas de qui-quadrado obtemos (valores tabelados)
\chi^{2}_{0{,}995,\;29}\approx52{,}336,\qquad \chi^{2}_{0{,}005,\;29}\approx13{,}121.
Já tínhamos (n-1)s^{2}=29\cdot2{,}0506\approx59{,}4667. Então
\text{limite inferior}=\frac{59{,}4667}{52{,}336}\approx1{,}1362,
\text{limite superior}=\frac{59{,}4667}{13{,}121}\approx4{,}5326.
Logo
I C(\sigma^{2},99\%)=[1{,}1362\;;\;4{,}5326].
Observação: os quantis da qui-quadrado vêm de uma tabela (ou software); os valores acima foram usados para calcular os extremos mostrados.

Passo 6

Resumo rápido da interpretação (curto e motivador): a média amostral é 13{,}1333 e a variabilidade amostral é moderada ( s\approx1{,}43). Com 99\% de confiança, acreditamos que a média verdadeira está entre 12{,}4128 e 13{,}8538 e a variância verdadeira entre 1{,}1362 e 4{,}5326. Vai dar certo na prova — você consegue!

Resposta

a) \bar{x}=13{,}1333 e s^{2}=2{,}0506.
b) I C(\mu,99\%)=[12{,}4128\;;\;13{,}8538].
c) I C(\sigma^{2},99\%)=[1{,}1362\;;\;4{,}5326].

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