Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros (segue distribuição Normal): 10, 11,
,
.
(a) Estimar a média e a variância.
(b) Construir um intervalo de confiança para a média, com
(c) Construir um intervalo de confiança para a variância sendo
.
(a) Estimar a média e a variância.
(b) Construir um intervalo de confiança para a média, com
(c) Construir um intervalo de confiança para a variância sendo
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de diâmetros (pressupõe-se distribuição Normal) e pede:
(a) estimar a média e a variância da população a partir da amostra;
(b) construir um intervalo de confiança de para a média;
(c) construir um intervalo de confiança de para a variância.
A amostra, reorganizada por valores e suas frequências (leitura do enunciado), é: uma observação igual a ; três observações iguais a
; quatro observações iguais a
; doze observações iguais a
; cinco observações iguais a
; três observações iguais a
; duas observações iguais a
. Portanto os dados têm tamanho total
. Vou usar esses números para calcular média, variância e os intervalos pedidos.
(a) estimar a média e a variância da população a partir da amostra;
(b) construir um intervalo de confiança de
(c) construir um intervalo de confiança de
A amostra, reorganizada por valores e suas frequências (leitura do enunciado), é: uma observação igual a
Passo 2
Estimando a média amostral
.
Fórmula da média amostral:
Fórmula da média amostral:
onde
é o número de observações e
são os valores da amostra. Aqui é mais prático somar por classes (valor × frequência). Cálculo das somas:
Como
, tem-se
Explicação curta: a média é o “centro de massa” dos valores; dividimos a soma total pelo número de observações.
Passo 3
Estimando a variância amostral
(estimador não viciado).
Fórmula da variância amostral (não viciada):
Fórmula da variância amostral (não viciada):
Uma forma prática de calcular usa as somas de quadrados:
Calculamos
por classes:
Agora apliquei a fórmula:
Também é útil a raiz (desvio padrão amostral):
Breve explicação: dividimos por
(e não por
) para obter um estimador imparcial da variância populacional quando usamos a média amostral.
Passo 4
Construindo o intervalo de confiança de
para a média (variância desconhecida).
Hipóteses e suposições: como a amostra vem de uma população Normal e a variância é desconhecida, usamos a distribuição de Student com
graus de liberdade. A fórmula do intervalo de confiança é
Hipóteses e suposições: como a amostra vem de uma população Normal e a variância é desconhecida, usamos a distribuição
onde
é o quantil da
com
graus de liberdade. Aqui
então
e
. Para
consultas a uma tabela de
dão
Calculamos o erro padrão da média:
Margem de erro:
Portanto o intervalo é
ou explicitamente
Explicação curta: usamos
porque a variância é desconhecida; quanto maior o nível de confiança, maior o fator
e, portanto, maior a margem.
Passo 5
Construindo o intervalo de confiança de
para a variância
.
Quando a população é Normal, a estatística
Quando a população é Normal, a estatística
tem distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. O intervalo de confiança
para
é dado por
onde
é o quantil
da distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. Aqui
,
e
. Consultando tabelas de qui-quadrado obtemos (valores tabelados)
Já tínhamos
. Então
Logo
Observação: os quantis da qui-quadrado vêm de uma tabela (ou software); os valores acima foram usados para calcular os extremos mostrados.
Passo 6
Resumo rápido da interpretação (curto e motivador): a média amostral é
e a variabilidade amostral é moderada (
). Com
de confiança, acreditamos que a média verdadeira está entre
e
e a variância verdadeira entre
e
. Vai dar certo na prova — você consegue!
Resposta
a)
e
.
b) .
c) .
b)
c)