Um fabricante afirma que seus cigarros contêm não mais do que 30 mg de nicotina.Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31.5 mg e devio padrão de 3 mg .
a)No nível de
,os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?
a)No nível de
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos, ao nível de significância de
, se os dados refutam a afirmação do fabricante de que os cigarros contêm “não mais do que
mg de nicotina”. Informações dadas:
A pergunta é: com esses dados, devemos rejeitar ou não a afirmação do fabricante?
Passo 2
Escolha do teste e por quê. Temos uma amostra de tamanho
e desconhecemos a variância populacional. Nessas condições usamos o teste t de Student para a média. O teste t é apropriado quando:
- queremos testar hipóteses sobre a média
; - a variância populacional
é desconhecida (usamos da amostra); - a amostra é razoavelmente pequena (aqui
), e assumimos que os dados vêm de uma população aproximadamente normal ou que o tamanho é suficiente para aproximação.
No teste t usamos a estatística
onde
é a média amostral,
é o valor hipotetizado,
é o desvio padrão amostral e
o tamanho da amostra. Essa estatística segue uma distribuição t com
graus de liberdade sob
.
Passo 3
Formulando as hipóteses (preste atenção ao sentido da afirmação do fabricante):
É um teste unilateral à direita (pois queremos detectar se a média é maior que
).
Passo 4
Calcule a estatística de teste. Primeiro calcule o erro padrão da média:
Agora a estatística t:
Graus de liberdade:
Passo 5
Valor crítico e decisão. Para um teste unilateral à direita com
e
o valor crítico é
Comparando:
portanto a estatística cai na região de rejeição. Conclusão pelo critério do valor crítico: rejeitamos
ao nível de
.
Passo 6
Cálculo aproximado do p-valor (opcional, mas útil para interpretação). O p-valor para um teste unilateral é
Consultando tabelas ou software, obtemos aproximadamente
Como
, isso confirma a decisão de rejeitar
.
Passo 7
Interpretação final e dica prática para a prova. Rejeitar
significa que os dados fornecem evidência suficiente, ao nível de
, de que a média de nicotina é maior que
mg — ou seja, os dados refutam a afirmação do fabricante. Na prova, siga esse roteiro rápido: (1) escreva
e
, (2) escolha t porque
é desconhecida, (3) calcule
, (4) compare com
crítico ou use p-valor, (5) conclua. Você pode também mostrar um intervalo de confiança para reforçar a conclusão.
Resposta
Rejeitamos
; os dados refutam a afirmação do fabricante ao nível de
(estatística
,
).