Um fabricante afirma que seus cigarros contêm não mais do que 30 mg de nicotina.Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31.5 mg e devio padrão de 3 mg .
a)No nível de 5 \%,os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, ao nível de significância de 5\%, se os dados refutam a afirmação do fabricante de que os cigarros contêm “não mais do que 30 mg de nicotina”. Informações dadas:
n=25,\quad \bar{x}=31{,}5,\quad s=3,\quad \text{nível } \alpha=0{,}05.í
A pergunta é: com esses dados, devemos rejeitar ou não a afirmação do fabricante?

Passo 2

Escolha do teste e por quê. Temos uma amostra de tamanho n=25 e desconhecemos a variância populacional. Nessas condições usamos o teste t de Student para a média. O teste t é apropriado quando:
  • queremos testar hipóteses sobre a média \mu;
  • a variância populacional \sigma^2 é desconhecida (usamos s^2 da amostra);
  • a amostra é razoavelmente pequena (aqui n=25), e assumimos que os dados vêm de uma população aproximadamente normal ou que o tamanho é suficiente para aproximação.
No teste t usamos a estatística
T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}},
onde \bar{X} é a média amostral, \mu_0 é o valor hipotetizado, S é o desvio padrão amostral e n o tamanho da amostra. Essa estatística segue uma distribuição t com n-1 graus de liberdade sob H_0.

Passo 3

Formulando as hipóteses (preste atenção ao sentido da afirmação do fabricante):
H_0:\\ \mu \le 30\qquad\text{(o fabricante está certo: média não maior que 30)}áéã
H_1:\\ \mu > 30\qquad\text{(os dados indicam média maior que 30)}é
É um teste unilateral à direita (pois queremos detectar se a média é maior que 30).

Passo 4

Calcule a estatística de teste. Primeiro calcule o erro padrão da média:
\text{erro padrão}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}=0{,}6.ã
Agora a estatística t:
T=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{31{,}5-30}{0{,}6}=\frac{1{,}5}{0{,}6}=2{,}5.
Graus de liberdade: df=n-1=24.

Passo 5

Valor crítico e decisão. Para um teste unilateral à direita com \alpha=0{,}05 e df=24 o valor crítico é
t_{0{,}95;24}\approx 1{,}7109.
Comparando:
T=2{,}5>1{,}7109,
portanto a estatística cai na região de rejeição. Conclusão pelo critério do valor crítico: rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.

Passo 6

Cálculo aproximado do p-valor (opcional, mas útil para interpretação). O p-valor para um teste unilateral é
p=\Pr\big(T_{24}>2{,}5\big).
Consultando tabelas ou software, obtemos aproximadamente
p\approx 0{,}01\\ (\text{aproximadamente }0{,}009\text{ a }0{,}01).
Como p<0{,}05, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 7

Interpretação final e dica prática para a prova. Rejeitar H_0 significa que os dados fornecem evidência suficiente, ao nível de 5\%, de que a média de nicotina é maior que 30 mg — ou seja, os dados refutam a afirmação do fabricante. Na prova, siga esse roteiro rápido: (1) escreva H_0 e H_1, (2) escolha t porque \sigma é desconhecida, (3) calcule T, (4) compare com t crítico ou use p-valor, (5) conclua. Você pode também mostrar um intervalo de confiança para reforçar a conclusão.

Resposta

Rejeitamos H_0; os dados refutam a afirmação do fabricante ao nível de 5\% (estatística T=2{,}5, p\approx0{,}01).

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