Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 segundos, um locutor levou em média 29,2 segundos com uma s^{2}=5,76 segundos ao quadrado. Assumindo que o tempo do comercial segue um modelo Normal, construir os limites de confiança para a média. Dado \gamma=90 \%.
\text { R. } I C(\mu, 90 \%)=29,9 \pm 2,8236=[26,38 ; 32,02] .

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa um intervalo de confiança para a média do tempo do comercial com nível de confiança \gamma=90\%. As informações fornecidas são:
\bar{x}=29,2,\quad n=4,\quad s^{2}=5,76,\quad\text{assume-se modelo Normal.}
Ou seja: média amostral \bar{x}=29,2, tamanho da amostra n=4 e variância amostral s^{2}=5,76. A pergunta é: construir o intervalo de confiança para \mu com 90\% de confiança.

Passo 2

Qual método usar e por quê. Como o tempo segue uma Normal e a variância populacional \sigma^{2} é desconhecida (só temos s^{2}), e a amostra é pequena ( n=4), devemos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição de Student t. A fórmula padrão para o intervalo de confiança para a média, quando \sigma é desconhecida, é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=29,2).
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, correspondente a probabilidade cumulativa 1-\alpha/2.
  • s é o desvio padrão amostral, isto é s=\sqrt{s^{2}}.
  • n é o tamanho da amostra.
  • \alpha é 1-\gamma; como \gamma=90\%, \alpha=0,10.

Passo 3

Encontrar o quantil t. Aqui \alpha=0,10 então \alpha/2=0,05 e precisamos de
t_{1-\alpha/2,\,n-1}=t_{0,95,\,3}.
Consultando a tabela da t de Student (ou usando função inversa t), para 3 graus de liberdade temos
t_{0,95,3}=2,353.
(esse valor é padrão em tabelas de t — anote que para 90\% de IC usamos o quantil t correspondente a 0,95 na cauda superior.)

Passo 4

Calcular s e s/\sqrt{n}. Da variância amostral dada:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{5,76}=2,4.
Como n=4, temos \sqrt{n}=2. Portanto
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2,4}{2}=1,2.

Passo 5

Calcular a margem de erro (meia‑amplitude) multiplicando o t crítico por s/\sqrt{n}:
\text{margem}=t_{0,95,3}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=2,353\times 1,2=2,8236.
Mostrei a multiplicação para você poder reproduzir rápido na prova sem calculadora: 2,353\times 1,2 = 2,353 + 0,4706 = 2,8236.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo somando e subtraindo a margem da média:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=29,2-2,8236=26,3764,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=29,2+2,8236=32,0236.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em ICs):
[26,38\;;\;32,02].

Passo 7

Observação útil para você na prova: o enunciado original dá \bar{x}=29,2. Se encontrar uma solução que coloque \bar{x}=29,9 (como aparece na letra de resposta que você trouxe), isso provavelmente é um erro de digitação — os cálculos da margem mostrados ali ( 2,8236) estão corretos, só a média usada estava trocada. Com a média correta 29,2 o intervalo é o calculado acima. Força aí — você já tem o passo a passo para aplicar esse método em qualquer caso similar!

Resposta

\displaystyle IC(\mu,90\%)=29,2\pm 2,8236=[26,38\;;\;32,02]

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