Uma fábrica de computadores tem uma produção diária normalmente distribuída com média igual a 800 unidades e desvio padrão de 40 unidades.
Qual a probabilidade de que em um dia está fábrica produza entre 800 e 870 unidades de computadores?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a probabilidade pedida:
  • A produção diária X é normalmente distribuída com média \mu=800 unidades e desvio padrão \sigma=40 unidades.
  • Queremos a probabilidade de que num dia a produção esteja entre 800 e 870 unidades, ou seja, encontrar
P(800 \le X \le 870).

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): quando X segue uma distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, para calcular probabilidades usamos a padronização para a variável normal padrão Z. A padronização é:
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
onde Z tem média 0 e desvio padrão 1. Essa transformação permite usar a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) que dá valores da função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z \le z). Aqui:
  • X é a produção diária (variável original),
  • \mu é a média ( 800),
  • \sigma é o desvio padrão ( 40),
  • Z é a variável padronizada.

Passo 3

Vamos padronizar os limites 800 e 870.
Para o limite inferior 800:
z_{\text{inf}} = \frac{800 - 800}{40} = \frac{0}{40} = 0.
Para o limite superior 870:
z_{\text{sup}} = \frac{870 - 800}{40} = \frac{70}{40} = 1{,}75.
Logo
P(800 \le X \le 870) = P\big(0 \le Z \le 1{,}75\big).

Passo 4

Mais teoria rápida: a função \Phi(z) P(Z \le z). Portanto
P\big(0 \le Z \le 1{,}75\big) = \Phi(1{,}75) - \Phi(0).
Sabemos que, pela simetria da normal padrão, \Phi(0)=0{,}5.

Passo 5

Agora usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter \Phi(1{,}75).
  • Peguei o valor de \Phi(1{,}75) na tabela padrão: \Phi(1{,}75)=0{,}9599.
Assim
P(800 \le X \le 870) = 0{,}9599 - 0{,}5 = 0{,}4599.

Passo 6

Interpretação e dica para a prova: a probabilidade é aproximadamente 0{,}4599, ou seja, cerca de 45{,}99\%. Na prova, faça a padronização rápida ( z=(x-\mu)/\sigma) e use a tabela para \Phi(z); lembre que \Phi(0)=0{,}5 facilita quando o intervalo começa na média.

Resposta

0{,}4599
45{,}99\%

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